Proprietà delle operazioni inverse

[AnalisiZero]

Ciao,

Vorrei sapere se e come è possibile arrivare ad alcune proprietà delle operazioni inverse (in questo caso sottrazione e divisione).
Per esempio a(b-c)=ab-ac.
Se siamo nei numeri naturali, è possibile arrivare a questa proprietà da questa? a(b+c)=ab+ac. Intendo se è possibile partire dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e arrivare a quella rispetto alla sottrazione, o è anch'essa un assioma come la prima?
Allo stesso modo partendo dalla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto a sottrazione/addizione si può giungere a dimostrare la proprietà distributiva della divisione rispetto a sottrazione/addizione (a sinistra) ? O anche queste proprietà sono assunte come assiomi?

[Luca.Lussardi]

Probabilmente e' possibile definendo la sottrazione nel modo ovvio. Comunque ti faccio osservare che nessuna di queste proprieta' sono assiomi, bensi' teoremi: si dimostra che valgono le proprieta' commutativa, associativa, distributiva ecc...

[AnalisiZero]

"Luca.Lussardi": Comunque ti faccio osservare che nessuna di queste proprieta' sono assiomi, bensi' teoremi: si dimostra che valgono le proprieta' commutativa, associativa, distributiva ecc...

Io invece avevo capito che si assumono come veri senza essere dimostrati e quindi sono assiomi, non a caso nel corso di analisi 1 si è parlato di assiomi dei numeri reali. Ho capito male?

[Luca.Lussardi]

Quella impostazione e' solo per necessita' didattica. In realta' l'insieme dei numeri reali si costruisce all'interno della teoria (assiomatica) degli insiemi, cosi' come i numeri naturali si costruiscono all'interno della stessa teoria.

[dissonance]

Però Luca esiste anche la definizione assiomatica dei reali. Assumi che i reali esistano, verificando certi assiomi, e a partire da quelli costruisci gli interi e i razionali. Ad esempio, sul libro di topologia di Munkres si fa così.

[ot]Nel mio piccolo, questa maniera di procedere mi piace molto di più delle terribili "sezioni di Dedekind".[/ot]

[Luca.Lussardi]

Si, ma e' solo per necessita' didattica, ovviamente uno non riparte da zero tutte le volte, mi premeva solo sottolineare il fatto che in realta' si tratta di teoremi e non di assiomi propriamente detti. A te spaventano le sezioni di Dedekind, ma $\mathbb R$ e' abbastanza innocuo, il vero problema e' $\mathbb N$, quello da cui si parte e' delicato.

[dissonance]

In ogni caso, come assioma si assume al massimo la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto. (lista degli assiomi qui) Le altre proprietà, tra cui le "proprietà delle operazioni inverse" dell'OP, sono da dimostrare.

@AnalisiZero: Se studi matematica, le ritroverai in algebra, ed è quello il giusto punto di vista.

[AnalisiZero]

"dissonance":In ogni caso, come assioma si assume al massimo la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto. (lista degli assiomi qui) Le altre proprietà, tra cui le "proprietà delle operazioni inverse" dell'OP, sono da dimostrare.

@AnalisiZero: Se studi matematica, le ritroverai in algebra, ed è quello il giusto punto di vista.

Studio ingegneria meccanica, il punto era sapere se posso capire da dove arrivano quelle proprietà, tutto qui.
Quindi se ho capito bene sono dimostrabili tutte anche la proprietà commutativa, per fare un esempio...? Probabilmente mi basta sapere che è intuitivo il fatto che valgono giusto?

[Luca.Lussardi]

Se non ti sono state dimostrate a lezione sicuramente è sufficiente prenderle per vere, per dimostrarle dovresti costruire l’insieme dei naturali ma penso sia una cosa che a ingegneria danno per scontato.

[AnalisiZero]

"Luca.Lussardi":Se non ti sono state dimostrate a lezione sicuramente è sufficiente prenderle per vere, per dimostrarle dovresti costruire l’insieme dei naturali ma penso sia una cosa che a ingegneria danno per scontato.

No a lezione non sono state dimostrate ne è stato costruito l'insieme dei numeri reali.
Quindi devo semplicemente ignorare la dimostrazione anche per le operazioni inverse giusto?

[Luca.Lussardi]

Non lo so se le puoi ignorare, in genere cio' che non viene fatto a lezione non si porta all'esame, almeno per i corsi di matematica funziona di solito cosi'.

[AnalisiZero]

Ciò che intendo è ignorarle o meno al fine di comprenderle queste proprietà. A quanto pare mi devo far bastare il fatto che la loro validità è comunque intuitiva.