Proprietà delle disuguaglianze

[HowardRoark]

Come faccio a dimostrare, dagli assiomi dei numeri reali o da proprietà molto elementari, che $x<=y => -x≥-y$? A me è sempre piaciuto ragionare così: presa la retta reale e due punti che rappresentano x e y, moltiplicare per -1 ambo i membri della disuguaglianza equivale a fare una simmetria rispetto all'origine, e questa trasformazione inverte l' ordine dei punti (da antiorario ad orario, ad esempio, se siamo sul piano). Però oltre all' idea geometrica (che mi piace molto) vorrei anche una dimostrazione più formale di questa proprietà: avreste consigli da darmi?

[megas_archon]

Semplicemente, l'insieme dei numeri reali è un campo ordinato, da cui segue che per ogni $a$, si ha \(x+a\le y+a\) ogni volta che \(x\le y\). Allora, se \(x\le y\), sommando \(-x\) da ambo i lati \(0\le y-x\), e sommando \(-y\) da ambo i lati \(-y\le y-x-y=-x\).

[HowardRoark]

Grazie mille!

[gugo82]

Sono le basi proprio... L'inizio di ogni corso di Analisi I o di Algebra.
Vedi qui, ad esempio.

[HowardRoark]

Grazie mille Gugo. Stasera o domani integrerò i miei primi appunti di analisi con quelle piccole dimostrazioni (di cui molte mi erano già note).