Proprietà della funzione inversa
Ciao a tutti stavo studiano e pensando a quali delle varie proprietà che ha una funzione vengono conservati dalla sua funzione inversa, e avevo le seguenti domande, spero che mi possiate aiutare grazie.
Sia $f:A \to B$ una funzione invertibile dove $A,B $ sono sottinsiemi di $\R$:
1) So che se A è un intervallo e f è continua su A lo è anche la sua inversa su B, ma in generale se $f$ è continua in un punto $x_0$ , $f^{-1}$ è continua in $y_0=f(x_0)$?
2)Se $A=[a,b]e B=[c,d]$ e f è integrabile su $[a,b]$ anche $f^{-1}$ è integrabile su $B=[c,d]$?
3)Se A,B sono aperti di $\R^n$ e f è differenziabile in un punto di $A$chiamato $ x_0$, anche la sua inversa è differenziabile in $f(x_0)$? e se invece f è differenziabile su $A$ $f^{-1}$ è differenzibile su $B$ ? queste ultime due nel caso in cui il determinante della Jacobiana sia diverso da zero. So che è vero se f è almeno $C^1$ ma nel caso fosse solo differenziabile è ancora vero?
Grazie ciao
Sia $f:A \to B$ una funzione invertibile dove $A,B $ sono sottinsiemi di $\R$:
1) So che se A è un intervallo e f è continua su A lo è anche la sua inversa su B, ma in generale se $f$ è continua in un punto $x_0$ , $f^{-1}$ è continua in $y_0=f(x_0)$?
2)Se $A=[a,b]e B=[c,d]$ e f è integrabile su $[a,b]$ anche $f^{-1}$ è integrabile su $B=[c,d]$?
3)Se A,B sono aperti di $\R^n$ e f è differenziabile in un punto di $A$chiamato $ x_0$, anche la sua inversa è differenziabile in $f(x_0)$? e se invece f è differenziabile su $A$ $f^{-1}$ è differenzibile su $B$ ? queste ultime due nel caso in cui il determinante della Jacobiana sia diverso da zero. So che è vero se f è almeno $C^1$ ma nel caso fosse solo differenziabile è ancora vero?
Grazie ciao
Risposte
Sul terzo punto sono abbastanza sicuro perché ne abbiamo già parlato sul forum (qui).
Sia $f:A\toB$ una funzione invertibile di aperti di $RR^n$, $x_0\inA$ e $f$ sia differenziabile in $x_0$. L'inversa di $f$, chiamiamola $g$, è differenziabile in $f(x_0)$ se e solo se $detf'(x_0)!=0$ e in questo caso $g'[f(x_0)]=[f'(x_0)]^(-1)$.
Questo fatto è indipendente dalla classe $C^1$. E' esattamente l'analogo di una nota regola di derivazione di funzioni di una variabile reale.
Poi c'è il teorema della funzione inversa: se $f:A\toB$ è una mappa $C^1$ tale che $detf'(x_0)!=0$ per qualche $x_0\inA$, allora esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ tale che $f|_U$ è un isomorfismo di classe $C^1$ (invertibile con l'inversa $C^1$). Qui stiamo supponendo più della sola differenziabilità, infatti vogliamo che $f\inC^1(A)$.
In realtà si potrebbe enunciare una versione di questo teorema con la sola differenziabilità, leggo infatti sul Rudin Principles of mathematical analysis pagina 221:
Hope this helps
Sia $f:A\toB$ una funzione invertibile di aperti di $RR^n$, $x_0\inA$ e $f$ sia differenziabile in $x_0$. L'inversa di $f$, chiamiamola $g$, è differenziabile in $f(x_0)$ se e solo se $detf'(x_0)!=0$ e in questo caso $g'[f(x_0)]=[f'(x_0)]^(-1)$.
Questo fatto è indipendente dalla classe $C^1$. E' esattamente l'analogo di una nota regola di derivazione di funzioni di una variabile reale.
Poi c'è il teorema della funzione inversa: se $f:A\toB$ è una mappa $C^1$ tale che $detf'(x_0)!=0$ per qualche $x_0\inA$, allora esiste un intorno aperto $U$ di $x_0$ tale che $f|_U$ è un isomorfismo di classe $C^1$ (invertibile con l'inversa $C^1$). Qui stiamo supponendo più della sola differenziabilità, infatti vogliamo che $f\inC^1(A)$.
In realtà si potrebbe enunciare una versione di questo teorema con la sola differenziabilità, leggo infatti sul Rudin Principles of mathematical analysis pagina 221:
The full force of the assumption $f\inC^1(A)$ was only used in the last paragraph of the preceding proof. Everything else [...] we refer to the article by A. Nijenhuis in Amer.Math.Monthly, vol.81, 1974, pp.969-980.
Hope this helps
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo