Proprietà della convergenza uniforme di successioni di funzioni

[xxxnuccio88-votailprof]

Ciao, nel contesto delle proprietà della convergenza uniforme di una successione di funzioni non mi è chiara l'utilità pratica del teorema sullo scambio dei limiti e del teorema di derivabilitá. Di che si tratta?

[giuspeppe94]

Non ho capito di quali teoremi stai parlando, se provi a chiarirmi questo dubbio ti posso dare una mano!

[SaraSueEss]

Forse di questo? boh

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (per convergenza uniforme):

$(1)$ $f_n$ è $\text{Riemann integrabile}$ in $[a,b]$
$(2)$ $f_n$ converge $\text{uniformemente}$ a $f$ in $[a,b]$

$(1)$ e $(2)$ $=>$ $\lim_{n \to \infty}int_a^bf_n$ $=$ $int_a^b\lim_{n \to \infty}f_n$

[giuspeppe94]

"SaraSue":
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (per convergenza uniforme):

$(1)$ $f_n$ è $\text{Riemann integrabile}$ in $[a,b]$
$(2)$ $f_n$ converge $\text{uniformemente}$ a $f$ in $[a,b]$

$(1)$ e $(2)$ $=>$ $\lim_{n \to \infty}int_a^bf_n$ $=$ $int_a^b\lim_{n \to \infty}f_n$

Mmmhhhh... ok. Allora, innanzitutto, se quello è il teorema, si dimostra prima che $f$ è effettivamente integrabile sull'intervallo chiuso e limitato e poi si dimostra che vale quella uguaglianza per i limiti. Ti faccio un esempio di applicazione.

Sia data una successione di funzioni in $[0,1]$ definita da $f_n(x)=nx^2e^{-nx}$. Determinare $\lim_{n \to \infty}int_0^1f_n$.
Soluzione. Notiamo che le $f_n$ convergono uniformemente alla funzione nulla in $[0,1]$ perché $max|f-f_n| = \frac{4}{e^2n}$ in $[0,1]$ (basta vedere la derivata, il sup è un max su un compatto) e $\lim_{n \to \infty}\frac{4}{e^2n} = 0$. Ne segue dunque che:
$ \lim_{n \to \infty}int_0^1f_n$ $=$ $int_0^1 0dx = 0$

Per il secondo teorema forse ti riferisci a questo:
Sia data una successione di funzioni continue $\{f_n\} \ \in \ C^1([a,b];\mathbb{R})$ con $f_n'$ (la successione delle derivate) convergente uniformemente ad una funzione $g$ (che risulterà quindi essere continua) e supponiamo che esista $x_0 \ \in \ [a,b]$ tale che $\lim_{n \to \infty}f_n(x_0) = y_0 \ \in \ \mathbb{R}$, allora esiste $f$ di classe $C^1$ su $[a,b]$ tale che le funzioni $f_n$ convergono uniformemente a $f$, le derivate $f'n$ convergono uniformemente alla derivata di $f$ ($f'=g$) e tale che $f(x_0)=y_0$.

Osservazione. Vediamo con un esempio perché non basterebbe da sola la convergenza uniforme delle $f_n$ per avere la convergenza delle derivate.
Consideriamo in $[-1,1]$ le funzioni $f_n(x)=\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}}$ che sono chiaramente di classe $C^1$ nell'intervallo di definizione. Si vede che queste convergono uniformemente alla funzione $f(x)=|x|$ che non è nemmeno derivabile in $0$ (quindi la convergenza uniforme delle derivate $f_n'$ ce la scordiamo).
Quindi, per avere la convergenza uniforme delle derivate, devo fare come nel teorema, cioè la devo imporre. La convergenza uniforme delle $f_n$ deriverà da questa (e dalle altre condizioni).

Importante
Basta porre nell'esempio precedente:
$ f(x) = y_0 + int_{x_0}^{x}g(t)dt $ per ogni $x \ \in \ [a,b]$

[xxxnuccio88-votailprof]

Questo è il teorema sullo scambio dei limiti a cui faccio riferimento.

Sia $x_0$ pto di accumulazione per A e ${f_n}$ successione di funzioni definite in A che converge uniformemente in A ad una funzione f.
Se per ogni $n in NN$ esistono i limiti
$lim_{x to x_0}f_n(x)=L_n
allora esistono anche i due limiti
$lim_{x to x_0}f(x)$ e $lim_{n to infty}L_n$
e sono uguali.[/quote]