Proprietà del sup

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti ! Vorrei sapere se esiste questa proprietà dell'estremo superiore,perchè non riesco a trovarla da nessuna parte : " Se A è un sottoinsieme non vuoto di R ,allora $ \text {sup} A <= k $ se e solo se $ a<= k$ ,per ogni $ a\in A $ ".

Grazie.

[TheDoubt]

Spero di non sbagliare, ma per definizione l'estremo superiore di un insieme ordinato è il più piccolo elemento dei maggioranti dell'insieme.
Un maggiorante è un qualunque elemento che è maggiore o uguale di ogni altro elemento dell'insieme.

Perciò se l'estremo superiore di un insieme è minore od uguale ad un altro elemento k, vuol dire che per forza di cose k deve essere maggiore o uguale di ogni altro elemento dell'insieme.
Viceversa, se ogni elemento dell'insieme è minore o uguale di k, allora k deve essere proprio l'estremo superiore OPPURE un maggiorante più grande del sup.