Proprietà del sup
Se ho una famiglia di funzioni $\{f(x,t)\}_{x\in A}$ dove $A$ è un insieme qualsiasi....
posso scrivere
$\text{sup}_x \int_0^t f(x,s)ds\leq\int_0^t \text{sup}_x f(x,s)ds$?
Ho un problema di integrabilità forse?
posso scrivere
$\text{sup}_x \int_0^t f(x,s)ds\leq\int_0^t \text{sup}_x f(x,s)ds$?
Ho un problema di integrabilità forse?
Risposte
mi pare ovvia, $text{sup}_xf(x,s)\ge f(x,s)$ per ogni $x$, integri e riprendi il sup su $x$ membro a membro
Si, sono d'accordo... mi chiedevo però potrei avere un problema di integralità?
Cioè il sup di funzioni integrabili è ancora integrabile?
Cioè il sup di funzioni integrabili è ancora integrabile?
e' misurabile, quello basta per fare l'integrale (di lebsegue)
Ma in realtà, al variare di A, la misurabilità può fallire.
Ad esempio, se consideri $f(x,s) = I_{x}(s), quad s in [0,1]$ e prendi $A sube [0,1]$ un insieme non misurabile,
hai che $"sup"_x f = I_A$.
Ad esempio, se consideri $f(x,s) = I_{x}(s), quad s in [0,1]$ e prendi $A sube [0,1]$ un insieme non misurabile,
hai che $"sup"_x f = I_A$.
beh questi sono casi patologici, davo un po' per scontato che uno avesse almeno la misurabilita' di $A$, quella disuguaglianza e' molto utile nelle applicazioni
Concordo che sono casi patologici. Però vedendo la domanda/messaggio del op, la questione verte proprio su questo e se uno esclude questi casi la domanda stessa viene meno (ammesso poi che si parli di integrale di Lebesgue).
Comunque, cosi ad occhio, anche se A è misurabile si può arrivare alla non misurabilità del sup
Comunque, cosi ad occhio, anche se A è misurabile si può arrivare alla non misurabilità del sup
se la famiglia e' piu' che numerabile credo di si
Grazie a entrambi per la risposta!
Nel caso che sto considerando io l'integrale è di lebesgue, mentre l'insieme $A=\mathbb{Z}^2$ quindi è numerabile... a questo punto mi chiedo però se è misurabile...
Nel caso che sto considerando io l'integrale è di lebesgue, mentre l'insieme $A=\mathbb{Z}^2$ quindi è numerabile... a questo punto mi chiedo però se è misurabile...
Se stai considerando la misura di Lebesgue su $RR^2$ allora tutti gl'insiemi numerabili sono misurabili (e di misura nulla).
"stelladinatale":
Grazie a entrambi per la risposta!
Nel caso che sto considerando io l'integrale è di lebesgue, mentre l'insieme $A=\mathbb{Z}^2$ quindi è numerabile... a questo punto mi chiedo però se è misurabile...
Prego. Certo potevi essere un po più specifica, o meglio scrivi che A è un insieme qualsiasi e poi dici che è numerabile. La numerabilità è una proprietà importante in measure theory.
Comunque hai provato ad abbozzare una dimostrazione? Che definizione di integrabilità usi?
@Luca: direi proprio di si. Basta prendere l'esempio che ho fatto ed estendere la famiglia di funzioni medianti funzioni nulle.
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