Proprietà dei limiti

[granpao]

Ciao , c'è una proprietà dei limiti che vorrei capire se esista o meno. Ma non capisco come fare a capire...

mettiamo di avere

$lim x->x_0 f(x)=lim x->x_0 g(x)$

esiste qualcosa che mi possa far moltiplicare per x membro a membro

$x*lim x->x_0 f(x)=x*lim x->x_0 g(x)$

fin qual dovrebbe esser giusto (?)

e ancora varrebbe?

$lim x->x_0 [f(x)*x]=lim x->x_0 [g(x)*x]$

So che per una costante c varrebbe, maper una variabile?


Spero possiate confermare se giusto il primo passaggio e se invece l'ultimo sia in generale possibile.

Ringrazio per la vostra mano.

[Raptorista1]

"granpao":esiste qualcosa che mi possa far moltiplicare per x membro a membro

$x*lim x->x_0 f(x)=x*lim x->x_0 g(x)$

fin qual dovrebbe esser giusto (?)

Questo _tecnicamente_ non è sbagliato, ma la \(x\) fuori dal limite non è la stessa \(x\) dentro al limite, quindi probabilmente quello che hai in mente scrivendo questa cosa è sbagliato.

"granpao":
e ancora varrebbe?
$lim x->x_0 [f(x)*x]=lim x->x_0 [g(x)*x]$

So che per una costante c varrebbe, maper una variabile?

Questo in generale è falso, un controesempio è dato da \(f(x) = \frac 1 x\) e \(g(x) = \frac 1 {x^2}\) e \(x_0 = 0\).
È vero in casi particolari sul valore del limite di \(f\) (o di \(g\)). Riesci a intuire quale condizione manca?

[granpao]

"Raptorista":
Questo _tecnicamente_ non è sbagliato, ma la \(x\) fuori dal limite non è la stessa \(x\) dentro al limite, quindi probabilmente quello che hai in mente scrivendo questa cosa è sbagliato.

esatto volevo poi andare a finire qui:

$lim_(x->x_0) f(x)=lim_(x->x_0) g(x)$
se si poteva riscrivere come:
$lim_(x->x_0) (f(x)*x)=lim_(x->x_0) (g(x)*x)$
mami pare proprio di aver capito non si possa, peccato.

[Raptorista1]

Mi spiace, non si può, ed il controesempio che ho scritto sopra te lo dimostra. Tuttavia, come dicevo, c'è un insieme di casi in cui quello che dici funziona; in effetti il mio controesempio sfrutta il fatto che entrambi i limiti sono infinito, senza distinguere ulteriormente. Evitando casi patologici però la proprietà che dici tu funziona.

[granpao]

Grazie ancora,ma c'è un vademecum da seguire per capire a priori quando funzioni e quando no?
Mi par di capire che dipenda dal caso di infiniti dicevi?

Mille grazie raptorista, sei gentilissimo e chiarificatore:)

[Raptorista1]

È quello che sto cercando di farti capire, ma sei un po' restio
Se sfogli il tuo libro troverai sicuramente un teorema che ti dice quando il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti.

[granpao]

Forse ho capito:

Devono essere continue in $x_0$, cioè devono avere limite dx e sx finito ed avere lo stesso valore (che è la parte che mi importa nel mio caso della continuità).
Solo in tal caso se $x_0$ appartiene al dominio di entrambe possiamo scrivere la proprietà
$(lim_(x->x_0) f(x))*(lim_(x->x_0) g(x))=lim_(x->x_0) (f(x)*g(x))$ (1)
Nel caso del controesempio da te riportato sono infiniti i limiti e non si può fare

Il punto è che non mi ero accorto che scrivere
$lim_(x->x_0) (f(x)*x)=lim_(x->x_0) (g(x)*x)$ (2)
cioè moltiplicare l'interno per x, sarebbe come scrivere formalmente prima
$(lim_(x->x_0) f(x))*(lim_(x->x_0) (x))=(lim_(x->x_0) g(x))*(lim_(x->x_0) (x))$
per garantire il secondo principio di equivalenza delle equazioni
e poi sfruttare la (1) per giungere alla (2)

Sono un po' ottuso

[Raptorista1]

Molto bene!
Anche il caso in cui il limite comune sia zero può essere problematico, se anziché moltiplicare per \(x\) moltiplichi per qualcosa di più complesso.