Proprietà dei limiti
Buonasera a tutti,
devo dimostrare alcune proprietà dei limiti, in spazi dotati di prodotto scalare.
Sia \(V\) uno spazio vettoriale e sia \( (\cdot,\cdot)\) un prodotto scalare in \(V\). Si denoti con \(\|\cdot\|\) la norma indotta. Mostrare che se \[u=\lim_{n\to \infty}u_n\] allora \[(u,v)=\lim_{n\to \infty}(u_n,v),\qquad \forall v\in V.\]
Ho pensato di dimostrare l'implicazione precedente come segue.
Sia \(w=u_n-u\). Per la convergenza della successione \(\{u_n\}\) si ha che
\[\forall \epsilon>0 \quad \exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n>\nu \quad \Rightarrow \quad \|u_n-u\|<\epsilon.\]
Quindi definitivamente si ha \(\|w\|<\epsilon\). Si fissi \(v\) ad arbitrio e si applichi la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:
\[|(u_n,v)-(u,v)|= |(w+u,v)-(u,v)|=|(w,u)|\leq \|w\|\cdot \|v\|\leq \epsilon \|v\|\equiv M\epsilon.\]
La mia domanda (banale) è la seguente: l'arbitrarietà di \(v\) l'ho "trattata" correttamente? Cioè: è lecito scegliere un arbitrario \(v\) e concludere così come ho fatto?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
devo dimostrare alcune proprietà dei limiti, in spazi dotati di prodotto scalare.
Sia \(V\) uno spazio vettoriale e sia \( (\cdot,\cdot)\) un prodotto scalare in \(V\). Si denoti con \(\|\cdot\|\) la norma indotta. Mostrare che se \[u=\lim_{n\to \infty}u_n\] allora \[(u,v)=\lim_{n\to \infty}(u_n,v),\qquad \forall v\in V.\]
Ho pensato di dimostrare l'implicazione precedente come segue.
Sia \(w=u_n-u\). Per la convergenza della successione \(\{u_n\}\) si ha che
\[\forall \epsilon>0 \quad \exists \nu\in\mathbb{N}:\forall n>\nu \quad \Rightarrow \quad \|u_n-u\|<\epsilon.\]
Quindi definitivamente si ha \(\|w\|<\epsilon\). Si fissi \(v\) ad arbitrio e si applichi la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:
\[|(u_n,v)-(u,v)|= |(w+u,v)-(u,v)|=|(w,u)|\leq \|w\|\cdot \|v\|\leq \epsilon \|v\|\equiv M\epsilon.\]
La mia domanda (banale) è la seguente: l'arbitrarietà di \(v\) l'ho "trattata" correttamente? Cioè: è lecito scegliere un arbitrario \(v\) e concludere così come ho fatto?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Nessuna osservazione?!
L'arbitrarietà è giusta, per il resto non mi pare ci siano problemi.
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