Proprietà degli insiemi in R^n
Salve,
mi chiedevo se qualcuno avesse la pazienza di spiegarmi le differenze (e quindi le definizioni corrette) di:
- Insieme connesso
- Insieme connesso per segmenti
- Insieme semplicemente connesso
- Insieme stellato
- Insieme convesso
possibilmente con qualche esempio in modo da riuscire poi a riconoscerli negli esercizi.
Inoltre vorrei sapere se l'ordine in cui gli ho scritti corrisponde effettivamente a livelli di specificità crescente.
Grazie in anticipo.
D.N.
mi chiedevo se qualcuno avesse la pazienza di spiegarmi le differenze (e quindi le definizioni corrette) di:
- Insieme connesso
- Insieme connesso per segmenti
- Insieme semplicemente connesso
- Insieme stellato
- Insieme convesso
possibilmente con qualche esempio in modo da riuscire poi a riconoscerli negli esercizi.
Inoltre vorrei sapere se l'ordine in cui gli ho scritti corrisponde effettivamente a livelli di specificità crescente.
Grazie in anticipo.
D.N.
Risposte
Cia0, eccoti le definizioni:
1) un insieme è connesso quando non è unione di aperti\chiusi disgiunti;
2&5) un insieme è connesso per segmenti quando ogni coppia di suoi punti è congiungibile con un segmento contenuto nell'insieme, ma ciò non è altro che un insieme convesso;
2bis) forse t'interessano gl'insiemi connessi per poligonali?
3) un insieme è semplicemente connesso quando ogni curva chiusa e semplice in esso è contraibile con continuità ad un punto; (spero di non aver scritto male qui)
4&5) un insieme è stellato rispetto ad un suo punto quando esso è congiungibile con ogni altro punto dell'insieme con un segmento contenuto nell'insieme, un insieme stellato rispetto ad ogni suo punto non è altri che un insieme convesso.
Domanda: ma conosci la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]?
1) un insieme è connesso quando non è unione di aperti\chiusi disgiunti;
2&5) un insieme è connesso per segmenti quando ogni coppia di suoi punti è congiungibile con un segmento contenuto nell'insieme, ma ciò non è altro che un insieme convesso;
2bis) forse t'interessano gl'insiemi connessi per poligonali?
3) un insieme è semplicemente connesso quando ogni curva chiusa e semplice in esso è contraibile con continuità ad un punto; (spero di non aver scritto male qui)
4&5) un insieme è stellato rispetto ad un suo punto quando esso è congiungibile con ogni altro punto dell'insieme con un segmento contenuto nell'insieme, un insieme stellato rispetto ad ogni suo punto non è altri che un insieme convesso.
Domanda: ma conosci la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex]?
Ciao, ho qualche domanda:
Allora... le definizioni 2 , 4 e 5 sono chiare ma sono le differenze tra i vari tipi di insiemi che non riuscivo a capire. (Diciamo che in generale le definizioni formali le ho tutte chiare)
Ho capito che "convesso " è la generalizzazione di "stellato" per ogni punto. Non ho capito invece che differenza c'è tra "connesso per segmenti" e "convesso". Da quanto hai scritto tu sembrano essere la stessa cosa, ma il mio prof insisteva sul fatto che convesso è qualcosa di piu generale. Forse intendeva i connessi per poligonali e li ha chiamati connessi per segmenti?
Poi, a livello pratico, perché ad esempio $R^2$ \ ${(x,y): y=0 e x<=0}$ è stellato? Quale sarebbe un punto congiungibile con tutti gli altri tramite un segmento?
Per quanto riguarda le proprietà 1 e 3, invece, non ho la minima idea di come verificarle praticamente.
Allora... le definizioni 2 , 4 e 5 sono chiare ma sono le differenze tra i vari tipi di insiemi che non riuscivo a capire. (Diciamo che in generale le definizioni formali le ho tutte chiare)
Ho capito che "convesso " è la generalizzazione di "stellato" per ogni punto. Non ho capito invece che differenza c'è tra "connesso per segmenti" e "convesso". Da quanto hai scritto tu sembrano essere la stessa cosa, ma il mio prof insisteva sul fatto che convesso è qualcosa di piu generale. Forse intendeva i connessi per poligonali e li ha chiamati connessi per segmenti?
Poi, a livello pratico, perché ad esempio $R^2$ \ ${(x,y): y=0 e x<=0}$ è stellato? Quale sarebbe un punto congiungibile con tutti gli altri tramite un segmento?
Per quanto riguarda le proprietà 1 e 3, invece, non ho la minima idea di come verificarle praticamente.
Ah ovviamente ti ringrazio molto per la risposta..
PS : penso di conoscere la topologia di $R^n$, perché me lo chiedi?
PS : penso di conoscere la topologia di $R^n$, perché me lo chiedi?
Concordo con te che il prof. quando dice connesso per segmenti intende connesso per poligonali.
Considera la corona circolare, essa è connessa per poligonali ma non è né stellata rispetto ad un suo punto né convessa di conseguenza; quindi è la poligonale connessione è una proprietà più generale della convessità e quindi dell'essere "stellato".
Il tuo esempio è stellato in quanto ogni punto di ordinata nulla ed ascissa strettamente positiva, e.g. [tex]$(1;0)$[/tex], è congiungibile mediante un segmento ad ogni punto dell'insieme, basta considerare la retta per la scelta coppia di punti! In generale basta un disegno.
Per verificare che un insieme di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] sia semplicemente connesso basta che non abbia dei buchi (sia visivamente che formalmente parlando), capendo ciò in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] puoi capirlo in analogia al caso generale; t'aiuto: un cilindro non è semplicemente connesso ma una corona sferica (generalizzazione della corona circolare) sì in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]!
Per la proprietà 1 può aiutare la seguente serie di implicazioni:
[tex]$\mathrm{convesso}\Rightarrow\mathrm{stellato}\Rightarrow\mathrm{connesso\,per\,poligonali;\,semplicemente\,connesso}\Rightarrow\mathrm{connesso}$[/tex], tieni conto che una curva regolare è connessa ma non è connessa per poligonali; sai dimostrarlo?
Prego, di nulla!
P.S.: T'ho chiesto della topologia naturale in quanto ho parlato di insiemi aperti\chiusi.
Considera la corona circolare, essa è connessa per poligonali ma non è né stellata rispetto ad un suo punto né convessa di conseguenza; quindi è la poligonale connessione è una proprietà più generale della convessità e quindi dell'essere "stellato".
Il tuo esempio è stellato in quanto ogni punto di ordinata nulla ed ascissa strettamente positiva, e.g. [tex]$(1;0)$[/tex], è congiungibile mediante un segmento ad ogni punto dell'insieme, basta considerare la retta per la scelta coppia di punti! In generale basta un disegno.
Per verificare che un insieme di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] sia semplicemente connesso basta che non abbia dei buchi (sia visivamente che formalmente parlando), capendo ciò in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] puoi capirlo in analogia al caso generale; t'aiuto: un cilindro non è semplicemente connesso ma una corona sferica (generalizzazione della corona circolare) sì in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]!
Per la proprietà 1 può aiutare la seguente serie di implicazioni:
[tex]$\mathrm{convesso}\Rightarrow\mathrm{stellato}\Rightarrow\mathrm{connesso\,per\,poligonali;\,semplicemente\,connesso}\Rightarrow\mathrm{connesso}$[/tex], tieni conto che una curva regolare è connessa ma non è connessa per poligonali; sai dimostrarlo?
Prego, di nulla!
P.S.: T'ho chiesto della topologia naturale in quanto ho parlato di insiemi aperti\chiusi.
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