Proprietà associativa (Serie)
Supponiamo di avere una serie qualunque $a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$
Raggruppiamo - secondo un certo criterio (così scrive il libro) - e rinominiamo alcuni addendi della serie:
$a_1 + ( a_2 + a_3 + a_4 ) + ( a_5 + a_6 ) + (a_7) + (a_8) + ( a_9 + a_10 ) + ...$
$a_1 = b_1$ , $( a_2 + a_3 + a_4 ) = b_2$ , $( a_5 + a_6 ) = b_3$ , ecc...
Scrivendo la successione delle ridotte di $sum b_n$ è evidente una cosa: è una sottosuccessione della succ. delle ridotte di $sum a_n$. (*)
Le ridotte di $sum b_n$ sono:
$S_1 = b_1 = a_1$
$S_2 = b_1 + b_2 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 $
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$
E così via... Allora concludo che se $sum a_n$ converge, anche $S_n$ converge e quindi converge la serie $sum b_n$.
L'osservazione fatta è evidente (*) , ma il dubbio è il seguente : io ho "raggruppato" solo alcuni addendi della serie. Posso essere sicuro che vale anche per infiniti addendi? C'è qualche ragionamento induttivo che non vedo dietro il "e così via..."?
Vorrei capire se questa può dirsi una dimostrazione o solo una traccia intuitiva da cui costruire una dimostrazione vera e propria?
Raggruppiamo - secondo un certo criterio (così scrive il libro) - e rinominiamo alcuni addendi della serie:
$a_1 + ( a_2 + a_3 + a_4 ) + ( a_5 + a_6 ) + (a_7) + (a_8) + ( a_9 + a_10 ) + ...$
$a_1 = b_1$ , $( a_2 + a_3 + a_4 ) = b_2$ , $( a_5 + a_6 ) = b_3$ , ecc...
Scrivendo la successione delle ridotte di $sum b_n$ è evidente una cosa: è una sottosuccessione della succ. delle ridotte di $sum a_n$. (*)
Le ridotte di $sum b_n$ sono:
$S_1 = b_1 = a_1$
$S_2 = b_1 + b_2 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 $
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$
E così via... Allora concludo che se $sum a_n$ converge, anche $S_n$ converge e quindi converge la serie $sum b_n$.
L'osservazione fatta è evidente (*) , ma il dubbio è il seguente : io ho "raggruppato" solo alcuni addendi della serie. Posso essere sicuro che vale anche per infiniti addendi? C'è qualche ragionamento induttivo che non vedo dietro il "e così via..."?
Vorrei capire se questa può dirsi una dimostrazione o solo una traccia intuitiva da cui costruire una dimostrazione vera e propria?
Risposte
Le somme parziali $(S_n)$ della serie "raggruppata" sono per costruzione una sottosuccessione delle somme parziali di partenza.
Volendo formalizzare, puoi partire da una successione strettamente crescente di naturali
$1\le n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$
e definisci $b_k = \sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_j$ per ogni $k\ge 1$ (ponendo $n_0 = 0$), e $S_k = \sum_{j=1}^k b_j$.
Con queste definizioni ottieni (1) $S_k = \sum_{j=1}^{n_k} a_j$.
Se vuoi, la verifica di (1) può essere effettuata per induzione: abbiamo che $S_1 = b_1 = a_1 + \cdots + a_{n_1}$; se supponiamo ora che (1) sia valida per un certo indice $k$, abbiamo che
$S_{k+1} = S_k + b_{k+1} = \sum_{j=1}^{n_k} a_j + \sum_{j=n_k + 1}^{n_{k+1}} a_j = \sum_{j=1}^{n_{k+1}} a_j$.
Volendo formalizzare, puoi partire da una successione strettamente crescente di naturali
$1\le n_1 < n_2 < \cdots < n_k < \cdots$
e definisci $b_k = \sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_k} a_j$ per ogni $k\ge 1$ (ponendo $n_0 = 0$), e $S_k = \sum_{j=1}^k b_j$.
Con queste definizioni ottieni (1) $S_k = \sum_{j=1}^{n_k} a_j$.
Se vuoi, la verifica di (1) può essere effettuata per induzione: abbiamo che $S_1 = b_1 = a_1 + \cdots + a_{n_1}$; se supponiamo ora che (1) sia valida per un certo indice $k$, abbiamo che
$S_{k+1} = S_k + b_{k+1} = \sum_{j=1}^{n_k} a_j + \sum_{j=n_k + 1}^{n_{k+1}} a_j = \sum_{j=1}^{n_{k+1}} a_j$.
Quindi diciamo che si potrebbe formalizzare... Grazie.
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