Proprietà algebriche di o-piccolo
Ciao,
il libro "Esercitazioni di matematica 1/1", di Marcellini/Sbordone chiede di dimostrare la relazione:
\[
o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))
\]
la soluzione proposta è di utilizzare due funzioni $f_1(x)=o(g(x))$ e $f_2(x)=o(g(x))$ tali che
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_1(x)}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_2(x)}{g(x)}}=0
\]
allora $[f_1(x)+f_2(x)]/g(x)\rightarrow 0$ per $x\rightarrow x_0$ ...
Io invece ho utilizzato una sola funzione $f(x)=o(g(x))$ e sono giunto alla conclusione che
\[
2\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0
\]
che mi sembra riduttiva (quindi suppongo sbagliata). Sugli appunti della lezione dell'università ho trovato la dimostrazione di questa proprietà dell'o-piccolo con le successioni, fatta nel modo seguente
\[
o(a_n)+o(a_n)=o(a_n)
\]
si applica la definizione di o-piccolo
\[
\frac{o(a_n)+o(a_n)}{a_n}=\frac{o(a_n)}{a_n}+\frac{o(a_n)}{a_n}
\]
entrambi gli addendi sono successioni infinitesime quindi la proprietà è verificata. È corretta questa procedura?
Ho cercato sul libro di "Analisi I", di S. Lancelotti, ma la proprietà in oggetto viene lasciata come esercizio da dimostrare e anche nel tutorial di questo forum la dimostrazione è lasciata al lettore.
il libro "Esercitazioni di matematica 1/1", di Marcellini/Sbordone chiede di dimostrare la relazione:
\[
o(g(x))+o(g(x))=o(g(x))
\]
la soluzione proposta è di utilizzare due funzioni $f_1(x)=o(g(x))$ e $f_2(x)=o(g(x))$ tali che
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_1(x)}{g(x)}}=\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f_2(x)}{g(x)}}=0
\]
allora $[f_1(x)+f_2(x)]/g(x)\rightarrow 0$ per $x\rightarrow x_0$ ...
Io invece ho utilizzato una sola funzione $f(x)=o(g(x))$ e sono giunto alla conclusione che
\[
2\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0
\]
che mi sembra riduttiva (quindi suppongo sbagliata). Sugli appunti della lezione dell'università ho trovato la dimostrazione di questa proprietà dell'o-piccolo con le successioni, fatta nel modo seguente
\[
o(a_n)+o(a_n)=o(a_n)
\]
si applica la definizione di o-piccolo
\[
\frac{o(a_n)+o(a_n)}{a_n}=\frac{o(a_n)}{a_n}+\frac{o(a_n)}{a_n}
\]
entrambi gli addendi sono successioni infinitesime quindi la proprietà è verificata. È corretta questa procedura?
Ho cercato sul libro di "Analisi I", di S. Lancelotti, ma la proprietà in oggetto viene lasciata come esercizio da dimostrare e anche nel tutorial di questo forum la dimostrazione è lasciata al lettore.
Risposte
Beh, io seguirei il suggerimento del testo e lascerei stare gli appunti.
Più che sbagliata mi sembra un caso particolare: hai dimostrato che se una funzione $f$ è $\text{o}(g(x))$ allora la somma di due volte la stessa funzione $f$ è anch'essa $\text{o}(g(x))$; tuttavia ciò vale più in generale con due funzioni differenti $f_1$ ed $f_2$ e si ritrova il caso che hai dimostrato tu ponendo $f_1=f_2$.
Nel mio precedente messaggio, per quanto riguarda l'uso delle successioni con o-piccolo, ho dimenticato qualche elemento. Ho controllato la dispensa del professore che ho trovato online e riporta il seguente passaggio "Passando al comportamento rispetto alle somme, non è difficile vedere che
\[
o(b_n)+o(b_n)=o(b_n)
\]
in quanto, usando il linguaggio appena inaugurato
\[
\frac{o(b_n)+o(b_n)}{b_n}=\frac{o(b_n)}{b_n}+\frac{o(b_n)}{b_n}\rightarrow 0+0=0
\]
È corretta? Forse non è una dimostrazione rigorosa.
\[
o(b_n)+o(b_n)=o(b_n)
\]
in quanto, usando il linguaggio appena inaugurato
\[
\frac{o(b_n)+o(b_n)}{b_n}=\frac{o(b_n)}{b_n}+\frac{o(b_n)}{b_n}\rightarrow 0+0=0
\]
È corretta? Forse non è una dimostrazione rigorosa.
Sì, pure va bene.
Ma preferisco comunque l'idea suggerita dal testo.
Ma preferisco comunque l'idea suggerita dal testo.
OK grazie a tutti
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