Proposizioni

[marta851]

Non capisco da cosa sia giustificata la seguente soluzione di questo esercizio....
Se f: [0,1]->R è derivabile con f(0)=0 quale delle seguenti proposizioni è sicuramente falsa?
a) f' (x) = f(x) per ogni x che appartiene a [0,1]
b) f'(x)>0 e f(x)<0 in [0,1]
c) f'(x) $=!$ f(1) per ogni x appartenente a [0,1] *

La risposta esatta è quella contrassegnata. Mi torna che sia sbagliata perchè secondo Weierstrass la derivata può assumere i valori dell'intervallo, perciò f'(x)= f(1).........o sbaglio?............ma non mi torna la b)

[codino75]

come fa a non essere "sicuramente falsa" la b) se f(0)=0 ???
sei sicura che hai rioprtato bene tutto il testo?
ciao
alex

[marta851]

Ecco lo diceva anche la ragazza che mi fa ripetizioni....in effetti un errore in quel compito c'era e proprio in quella domanda, ma pensavo che il prof lo avesse corretto....evidentemente no.......
Cmq non capisco perchè allora la b è sicuramente falsa.....

[codino75]

la b) e' sicurmanete falsa per un motivo banale:
nei dati leggo:
f(0)=0

nella b) c'e' scritto:
f(x)<0 in [0,1] (non puo' essere vero perche' almeno in un punto di tale intervallo (il punto x=0 in particolare) si ha f(x)=0)

[marta851]

Ho capito....!
Ma allora non sarebbe falsa anche la c).....?

[codino75]

"marta85":Ho capito....!
Ma allora non sarebbe falsa anche la c).....?

la c) e' falsa per la questione di Weierstrass (o i suoi derivati), in quanto ci sara' sicuramente un ppunto in [0,1] per il quale la derivata uguaglia il valore f(1)
spero chiaro.

[marta851]

Perfetto!!!!!!!!!!
Avrei un altro quesito a proposito di questo.......
Se g:[0,1]->R è derivabile in g(0)>0>g(1) perchè il fatto che esista $x_0$ appartenente a (0,1) : g($x_0$) =0 è sicuramente vera, mentre l'altra proposizione che afferma che esiste un $x_0$ appartenente a (0,1): g'($x_0$) =0 non è sicuramente vera?

[codino75]

ma g(x) e' continua e derivabile su tutto [0,1]?

[marta851]

non viene specificato.....
le altre proposizioni nell'esercizio se ti possono aiutare sono:
g(1) è un minimo locale per g(x) in [0,1] che ovviamente è falsa....
g'(x)<0 in tutto [0,1] probabilmente falsa....ma almeno non sicuramente vera....

[raff5184]

"marta85":
Se g:[0,1]->R è derivabile in g(0)>0>g(1) perchè il fatto che esista $x_0$ appartenente a (0,1) : g($x_0$) =0 è sicuramente vera,

perché in 0 è positiva e in 1 è negativa quindi deve per forza intersecare l'asse x in un punto $x_0$ dove varrà $g(x_0)=0$
Però maca la continuità della funzione

[marta851]

ma allora l'altra proposizione che afferma che esiste un appartenente a (0,1): g'() =0 perchè non è sicuramente vera?

[raff5184]

"marta85":ma allora l'altra proposizione che afferma che esiste un appartenente a (0,1): g'() =0 perchè non è sicuramente vera?

probabilmente perché la funzione è derivabile soltanto in 0 e quindi in un punto $x_0$ non puoi dire se la funzione ha derivata, né tanto meno se tale derivata è nulla.

[marta851]

ma questa proposizione allora vale sempre....?

[raff5184]

"marta85":ma questa proposizione allora vale sempre....?

in che seso?

[marta851]

grazie sergio.....come al solito sei UNICO...!!!!!
Non ho capito solo la d) non perchè tu non sia stato chiaro ma prchè il mio pc non visualizza il tuo formato. In questo modo non ho potuto vedere la seconda f(x)che hai citato come esempio.....
Comunque se dovessi superare l'esame dedicherò a te un grande grazie virtuale!!!!!

[marta851]

non riesco a vedere sia i grafici e sia la seconda funzione, cioè la sua scrittura.
Cmq concettualmente ho capito e ti ringrazio ancora infinitamente....! Crepi il lupo!