Proposizione sulle funzioni crescenti
Buonasera amici,
ci sono dei passaggi che non mi sono chiari sulla dimostrazione della seguente proposizione, che ritrovo sul mio libro:
Prop. 1
Se \(\displaystyle A\subset\mathbb{N} \) è infinito, allora esiste un'applicazione crescente \(\displaystyle f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) la cui immagine è A
Dimostrazione
Si osserva che se \(\displaystyle A \) è infinito allora \(\displaystyle \forall i \in\mathbb{N} \) anche l'insieme
\(\displaystyle A_i=k\in A :k>i \) è infinito, quindi non vuoto, per il principio del minimo intero ha minimo, si ha:
poniamo:
\(\displaystyle f(0)=minA \)
\(\displaystyle f(n+1)minA_{f(n)} \)
questa è un'applicazione da \(\displaystyle \mathbb{N} \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \), inoltre per ogni \(\displaystyle n \) si ha \(\displaystyle f(n)\in A \), allora \(\displaystyle f(\mathbb{N}) \subset A\ \), in più \(\displaystyle f \) risulta crescente.
Per la prima parte, quella che ho riportata sopra, tutto sommato non ci sono problemi. Invece è sulla seconda parte, quella che segue.
Quello dobbiamo far vedere ora è :
1) \(\displaystyle A-f(\mathbb{N})= \emptyset \).
Il mio libro porta una dimostrazione per assurdo per far vedere la 1),ed è un po' frustante
Non c'è qualcosa di più intuitivo per dimostrare la 1), io ho pensato a qualcosa di questo tipo:
\(\displaystyle A=f(\mathbb{N}) \leftrightarrow (A\subset f(\mathbb{N}) \land f(\mathbb{N})\subset A ) \)
Grazie per le risposte
ci sono dei passaggi che non mi sono chiari sulla dimostrazione della seguente proposizione, che ritrovo sul mio libro:
Prop. 1
Se \(\displaystyle A\subset\mathbb{N} \) è infinito, allora esiste un'applicazione crescente \(\displaystyle f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \) la cui immagine è A
Dimostrazione
Si osserva che se \(\displaystyle A \) è infinito allora \(\displaystyle \forall i \in\mathbb{N} \) anche l'insieme
\(\displaystyle A_i=k\in A :k>i \) è infinito, quindi non vuoto, per il principio del minimo intero ha minimo, si ha:
poniamo:
\(\displaystyle f(0)=minA \)
\(\displaystyle f(n+1)minA_{f(n)} \)
questa è un'applicazione da \(\displaystyle \mathbb{N} \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \), inoltre per ogni \(\displaystyle n \) si ha \(\displaystyle f(n)\in A \), allora \(\displaystyle f(\mathbb{N}) \subset A\ \), in più \(\displaystyle f \) risulta crescente.
Per la prima parte, quella che ho riportata sopra, tutto sommato non ci sono problemi. Invece è sulla seconda parte, quella che segue.
Quello dobbiamo far vedere ora è :
1) \(\displaystyle A-f(\mathbb{N})= \emptyset \).
Il mio libro porta una dimostrazione per assurdo per far vedere la 1),ed è un po' frustante
Non c'è qualcosa di più intuitivo per dimostrare la 1), io ho pensato a qualcosa di questo tipo:
\(\displaystyle A=f(\mathbb{N}) \leftrightarrow (A\subset f(\mathbb{N}) \land f(\mathbb{N})\subset A ) \)
Grazie per le risposte
Risposte
Ti sei proprio intestardito con questo libro. Si direbbe che la passione di questo autore sia dimostrare cose ovvie nel modo più complicato possibile, o almeno, questo è quello che lasci trapelare tu. Scrivi un riferimento bibliografico preciso, per favore, vediamo se è possibile dare un'occhiata a questo libro.
In ogni caso, non mi sembra che per te sia il momento di intricarti in queste cose.
In ogni caso, non mi sembra che per te sia il momento di intricarti in queste cose.
Caro dissonance amico mio 
,
riporto passo passo quelle che è riportato sul mio libro, sul quale sto preparando l'esame di Analisi 1. Libro scelto dal mio prof.
Comunque il libro in questione è:
Primo corso di analisi matematica, di Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo - Pitagora - 1997.
Ciao
, riporto passo passo quelle che è riportato sul mio libro, sul quale sto preparando l'esame di Analisi 1. Libro scelto dal mio prof.
Comunque il libro in questione è:
Primo corso di analisi matematica, di Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo - Pitagora - 1997.
Ciao
Comunque un modo per verificare la 1)
Lascia perdere questa dimostrazione allucinante.
Scegliere un ordinamento per gli elementi di $A$ equivale a fissare una biiezione $\mathbb N \to A$ (dato che A è infinito), che composta con $A\subseteq \mathbb N$ dà esattamente una funzione monotona $\mathbb N\to\mathbb N$ che ha per immagine $A$.
Scegliere un ordinamento per gli elementi di $A$ equivale a fissare una biiezione $\mathbb N \to A$ (dato che A è infinito), che composta con $A\subseteq \mathbb N$ dà esattamente una funzione monotona $\mathbb N\to\mathbb N$ che ha per immagine $A$.
Ciao galles90,
... Che "per caso" si chiama Emilio Acerbi o Giuseppe Buttazzo?
Ammetto di non conoscere il testo in questione, però vi riporto la recensione che compare su Internet:
Prolisso., 10-09-2012, ritenuta utile da 10 utenti su 17
di E. Bianchi
Il contenuto è un mix indistinto di argomenti che male si inquadra nell'ottica di un rigido programma universitario. Si parte immediatamente dallo studio nel campo complesso per arrivare ad approfondire oltre ogni ragionevole dubbio la teoria delle equazioni differenziali. Nulla da eccepire sulla competenza dell'autore che riesce ad imbastire un rigoroso schema fatto di definizioni, proposizioni e osservazioni opportunamente spiegate, e di una sequela di criteri e teoremi opportunamente dimostrati. Non lo consiglio affatto per studenti del primo biennio di qualsivoglia corso universitario; diversi argomenti base vengono tralasciati dandoli per scontati, altri invece non c'entrano nulla con il normale approccio didattico accademico. Insomma, il testo, per essere goduto pienamente occorre che venga letto da almeno dottorandi o studiato da chi ha già intrapreso un percorso di specializzazione. Il neo maggiore rimane purtroppo l'organizzazione operativa dell'intero volume, che si presenta dispersiva e frastagliata a causa della troppa specificità. In una parola: complicato e a tratti frustrante.
Darei ascolto a dissonance, perché difficilmente ad uno scritto (e forse neanche ad un orale...) ti verranno chieste queste dimostrazioni ma, molto più prosaicamente, esercizi un po' più pratici (equazioni in $\CC $, limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali, etc.)
"galles90":
Libro scelto dal mio prof.
... Che "per caso" si chiama Emilio Acerbi o Giuseppe Buttazzo?
"galles90":
Primo corso di analisi matematica, di Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo - Pitagora - 1997
Ammetto di non conoscere il testo in questione, però vi riporto la recensione che compare su Internet:
Prolisso., 10-09-2012, ritenuta utile da 10 utenti su 17
di E. Bianchi
Il contenuto è un mix indistinto di argomenti che male si inquadra nell'ottica di un rigido programma universitario. Si parte immediatamente dallo studio nel campo complesso per arrivare ad approfondire oltre ogni ragionevole dubbio la teoria delle equazioni differenziali. Nulla da eccepire sulla competenza dell'autore che riesce ad imbastire un rigoroso schema fatto di definizioni, proposizioni e osservazioni opportunamente spiegate, e di una sequela di criteri e teoremi opportunamente dimostrati. Non lo consiglio affatto per studenti del primo biennio di qualsivoglia corso universitario; diversi argomenti base vengono tralasciati dandoli per scontati, altri invece non c'entrano nulla con il normale approccio didattico accademico. Insomma, il testo, per essere goduto pienamente occorre che venga letto da almeno dottorandi o studiato da chi ha già intrapreso un percorso di specializzazione. Il neo maggiore rimane purtroppo l'organizzazione operativa dell'intero volume, che si presenta dispersiva e frastagliata a causa della troppa specificità. In una parola: complicato e a tratti frustrante.
"dissonance":
In ogni caso, non mi sembra che per te sia il momento di intricarti in queste cose.
Darei ascolto a dissonance, perché difficilmente ad uno scritto (e forse neanche ad un orale...) ti verranno chieste queste dimostrazioni ma, molto più prosaicamente, esercizi un po' più pratici (equazioni in $\CC $, limiti, derivate, integrali, equazioni differenziali, etc.)
Grazie a tutti per le risposte.
In questi giorni ho l'incontro con il professore, per valutare questa vicenda.
Spero vivamente in qualche cambio !!
In questi giorni ho l'incontro con il professore, per valutare questa vicenda.
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