Proposizione funzioni Lipschitziane (derivata prima limitata)

[dattolico_007]

Salve a tutti, non mi è chiara la seguente proposizione:
Sia $I\subseteq R$ un intervallo. sia $f:I->R$ una funzione derivabile in $I$. Supponiamo che $exists M>0 t.c. |f'(x)|<=M$ $\forall x\in I $ allora $f$ è Lipschitziana in $I$.

Mi porta come esempio $f(x)=x$ $ forall x \in [0,1]$ e mi dice che non è Lipschitziana. Ma perché? La derivata prima di $f$ in $x$ è $1 forall x\in [0,1]$ quindi sicuramente esisterà almeno un $M$ tale per cui è limitata. No?

Vi ringrazio anticipatamente

[Mephlip]

È un errore, probabilmente quel "non" è di troppo perché la proposizione è corretta ed $f$ è lipschitziana in $[0,1]$. Il tuo ragionamento è corretto, ma non serve neanche la proposizione per vederlo: hai che $|f(x)-f(y)|=|x-y| \le 1 \cdot |x-y|$ per ogni $x,y \in [0,1]$.

[dattolico_007]

Ah ecco, ti ringrazio!