Propongo dubbio col "<<"
Sera a voi.
Volevo chiedere un aiuto su un conto per cui vale per hp che $(ar)/b≪1$
Io ho $(1/r-a/b-(a^2r)/b^2)$ e dovrei arrivare ad avere solo 1/r
Oppure altro conto simile: $(1/r^2-a/(br)-a^2/b^2)=1/r$
Non capisco bene come impostare il ragionamento nei due casi:
mi viene da dire che
- 1/r non ci crea problemi
- considero $a/b$ per hp $(ar)/b≪1 => a/b≪1/r$ quindi sopravvive il primo temrmine della somma e questo è trascurabile
- passo a $(a^2r)/b^2$ lo scrivo come $(ar)/b*a/b$ ho quindi una (cosa ≪1)*a/b => ≪1 e quindi lo elimino/trascuro
- oppure in alternativa sempre per il $(a^2r)/b^2$ ragiono così: $a^2/b^2*r$ ma $a/b≪1/r$ quindi ho (qualcosa di minore di 1/r per 1/r) ora se avessi 1/r per r avrei 1, ma (qualcosa di minore di 1/r)*( 1/r)≪1 quindi trascuro??
ma sono giusti come ragionamenti? non so a chi chiedere
per il secondo ragiono così:
-lascio 1/r^2 e confronto i restanti
- per $a/(br)$ ho che $a/b≪1/r$, quindi qualcosa ≪1/r che moltiplica 1/r è piccolo e lo trascuro
- infine per $a^2/b^2$ beh esso è ≪1/r^2 per hp quindi sono a cavallo.
come potrei aggiustare qesti ragionamenti? vorrei chiedervi se i vari punti esposti sono per lo meno validi come idea
grazie
Volevo chiedere un aiuto su un conto per cui vale per hp che $(ar)/b≪1$
Io ho $(1/r-a/b-(a^2r)/b^2)$ e dovrei arrivare ad avere solo 1/r
Oppure altro conto simile: $(1/r^2-a/(br)-a^2/b^2)=1/r$
Non capisco bene come impostare il ragionamento nei due casi:
mi viene da dire che
- 1/r non ci crea problemi
- considero $a/b$ per hp $(ar)/b≪1 => a/b≪1/r$ quindi sopravvive il primo temrmine della somma e questo è trascurabile
- passo a $(a^2r)/b^2$ lo scrivo come $(ar)/b*a/b$ ho quindi una (cosa ≪1)*a/b => ≪1 e quindi lo elimino/trascuro
- oppure in alternativa sempre per il $(a^2r)/b^2$ ragiono così: $a^2/b^2*r$ ma $a/b≪1/r$ quindi ho (qualcosa di minore di 1/r per 1/r) ora se avessi 1/r per r avrei 1, ma (qualcosa di minore di 1/r)*( 1/r)≪1 quindi trascuro??
ma sono giusti come ragionamenti? non so a chi chiedere
per il secondo ragiono così:
-lascio 1/r^2 e confronto i restanti
- per $a/(br)$ ho che $a/b≪1/r$, quindi qualcosa ≪1/r che moltiplica 1/r è piccolo e lo trascuro
- infine per $a^2/b^2$ beh esso è ≪1/r^2 per hp quindi sono a cavallo.
come potrei aggiustare qesti ragionamenti? vorrei chiedervi se i vari punti esposti sono per lo meno validi come idea
grazie
Risposte
Ciao gasteropode,
Benvenuto sul forum!
Nel primo caso la cosa migliore per vederlo mi pare sia raccogliere $1/r$:
$ (1/r-a/b-(a^2r)/b^2) = 1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $
Ora se per ipotesi $ (ar)/b≪1 $ a maggior ragione $((ar)/b)^2 ≪1 $ per cui dentro la parentesi tonda si può trascurare tutto rispetto a $1$ e quindi in effetti il risultato è $1/r$
Qui immagino che in realtà sia $(1/r^2-a/(br)-a^2/b^2) $, sicché raccogliendo $1/r^2 $ si ha:
$ (1/r^2-a/(br)-a^2/b^2) = 1/r^2(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $
Ora se per ipotesi $ (ar)/b≪1 $ a maggior ragione $((ar)/b)^2 ≪1 $ per cui dentro la parentesi tonda si può trascurare tutto rispetto a $1$ e quindi il risultato è $1/r^2$
Benvenuto sul forum!
Nel primo caso la cosa migliore per vederlo mi pare sia raccogliere $1/r$:
$ (1/r-a/b-(a^2r)/b^2) = 1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $
Ora se per ipotesi $ (ar)/b≪1 $ a maggior ragione $((ar)/b)^2 ≪1 $ per cui dentro la parentesi tonda si può trascurare tutto rispetto a $1$ e quindi in effetti il risultato è $1/r$
"gasteropode":
Oppure altro conto simile: $ (1/r^2-a/(br)-a^2/c^2)=1/r $
Qui immagino che in realtà sia $(1/r^2-a/(br)-a^2/b^2) $, sicché raccogliendo $1/r^2 $ si ha:
$ (1/r^2-a/(br)-a^2/b^2) = 1/r^2(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $
Ora se per ipotesi $ (ar)/b≪1 $ a maggior ragione $((ar)/b)^2 ≪1 $ per cui dentro la parentesi tonda si può trascurare tutto rispetto a $1$ e quindi il risultato è $1/r^2$
Ciao e grazie. Ho capito il tuo suggerimento e mi sembra molto più comodo del mio metodo. A tal riguardo volevo però chiederti secondo te come procedevo io era tanto errato? Perché mi sembrava di giungere al medesimo risultato e volevo capire se fosse almeno sensato come mi ero mosso.
Come seconda e ultima domanda volevo poterti chiedere una cosa: se ipotizzo $(ar)/b$>>$1$ per $(1/r-a/b-(a^2r)/b^2)$ a qesto punto svolgerei il raccogliemnto da te detto e rimarrei con $1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $, qui prevale l'ultimo termine?
Come seconda e ultima domanda volevo poterti chiedere una cosa: se ipotizzo $(ar)/b$>>$1$ per $(1/r-a/b-(a^2r)/b^2)$ a qesto punto svolgerei il raccogliemnto da te detto e rimarrei con $1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) $, qui prevale l'ultimo termine?
"gasteropode":
qui prevale l'ultimo termine?
Beh, nel caso [tex]\frac{ar}{b} \gg 1[/tex] puoi trascurare $1$ rispetto agli altri due termini nella parentesi tonda:
$(1/r-a/b-(a^2r)/b^2) = 1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) ~~ - 1/r((ar)/b + ((ar)/b)^2) $
Non è che ti sei mosso male, ma il tuo ragionamento è un po' contorto e rischi di incartarti: però non è sbagliato (infatti giungi allo stesso risultato). Il mio consiglio in questi casi è pervenire al confronto fra numeri: ad esempio se hai [tex]\frac{ar}{b} \gg 1[/tex] come nell'ultimo caso che hai proposto devi cercare di avere numeri che siano confrontabili con quell'$1$, cioè quantità contenenti il termine $\frac{ar}{b}$ che sai essere molto maggiore di $1$.
Grazie per i consigli e chiarimenti!
Per quanto riguardava la mia ultima domanda intendevo proprio quello, l'unica cosa che mi sfugge è perché il prof tenga (seguendo la tua notazione):
$(1/r-a/b-(a^2r)/b^2) = 1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) ~~ - 1/r(((ar)/b)^2) $
mentre in effetti ora che mi ci fai pensare è più giusto
$1/r((ar)/b + ((ar)/b)^2) $
Per quanto riguardava la mia ultima domanda intendevo proprio quello, l'unica cosa che mi sfugge è perché il prof tenga (seguendo la tua notazione):
$(1/r-a/b-(a^2r)/b^2) = 1/r(1 - (ar)/b - ((ar)/b)^2) ~~ - 1/r(((ar)/b)^2) $
mentre in effetti ora che mi ci fai pensare è più giusto
$1/r((ar)/b + ((ar)/b)^2) $
Beh, il tuo professore ha approssimato conservando solo il termine più grande dei due, d'altronde si ha:
$ - 1/r((ar)/b + ((ar)/b)^2) = - 1/r \cdot (ar)/b (1 + (ar)/b) ~~ - 1/r ((ar)/b)^2 $
$ - 1/r((ar)/b + ((ar)/b)^2) = - 1/r \cdot (ar)/b (1 + (ar)/b) ~~ - 1/r ((ar)/b)^2 $
Mi trovo con un dubbio simile 
vediamo se mi potete dare una mano:
x>>x_0 nella $T*x^4/((x_0^2-x^2)^2+x^2R)$ so che dovrebbe essere circa uguale a T, ma non ho capito formalmente come vederlo perche mi ritrovo $T*x^4/(x^4+x^2R)$ mi parrebbe.
vediamo se mi potete dare una mano:x>>x_0 nella $T*x^4/((x_0^2-x^2)^2+x^2R)$ so che dovrebbe essere circa uguale a T, ma non ho capito formalmente come vederlo perche mi ritrovo $T*x^4/(x^4+x^2R)$ mi parrebbe.
Se $x$ è molto grande, $x^4$ è estremamente più grande di $x^2$ e moltiplicare $x^2$ per una costante $R$ non riesce a compensare la differenza con $x^4$: quindi, $x^4+x^2R$ è circa $x^4$ e dunque la frazione è circa $1$.
Grazie, però allora dovrei anche dire x>>1 perche se x>>$x_0$ ma $x_0$ è estremamente piccolo non funziona benissimo l'approssimazione
Prego! Sì, ma $x$ "molto grande" sottintende già supposizioni del tipo "$x$ molto maggiore di $1$". Sono comunque ragionamenti qualitativi-intuitivi: che vuol dire, in generale, "molto grande"? Confrontata ad un elettrone, una distanza di un millimetro è molto grande; confrontato al Monte Fuji, un uomo alto $2$ metri e $20$ centimetri è molto piccolo. Perciò, fatti guidare dall'intuito in questi casi. Pensali un po' come $x \to \infty$.
Grazie mille Mephlip sei gentilissimo!
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