Propetà sup e inf
ciao a tutti.
qualcuno saprebbe consigliarmi un link o una dispensa su internet dove trovare le proprietà del sup e inf di una funzione?
nel senso mi chiedevoi che relazione c'è tra il $sup(f+g)$ e $sup(f)$ e $sup(g)$ e stessa cosa per quel che riguarda l'inf.
e poi se ci sono relazioni anche riguardo al liminf e al limsup.
grazie a tutti.
qualcuno saprebbe consigliarmi un link o una dispensa su internet dove trovare le proprietà del sup e inf di una funzione?
nel senso mi chiedevoi che relazione c'è tra il $sup(f+g)$ e $sup(f)$ e $sup(g)$ e stessa cosa per quel che riguarda l'inf.
e poi se ci sono relazioni anche riguardo al liminf e al limsup.
grazie a tutti.
Risposte
"miuemia":
ciao a tutti.
qualcuno saprebbe consigliarmi un link o una dispensa su internet dove trovare le proprietà del sup e inf di una funzione?
Questo è chiaro
www2.dm.unito.it/paginepersonali/caldiroli/lezione6.pdf
grazie mille ma non mi seriva la definizione di sup e inf ma le proprietà.
cioè come si comportano rispetto alla somma di funzioni.
cioè come si comportano rispetto alla somma di funzioni.
questo l'avevo già visto ma è su insiemi limitati... io le vorrei in generale
Detto estremamente alla buona:
Il sup della somma è minore o uguale della somma dei sup.
Questo segue dalla proprietà di compatibilità di $+$ con $<=$: se $f(x)<=a, g(x)<=b$ allora $f(x)+g(x)<=a+b$. Questa disuguaglianza si prolunga al sup: $"sup"[f(x)+g(x)]<=a+b$. E se questo è vero per ogni $a$ maggiorante di $f$, e $b$ maggiorante di $g$, allora è vero anche per i minimi dei maggioranti: perciò
$"sup"[f(x)+g(x)]<="sup"f(x)+"sup"g(x)$.
Occhio che non vale l'uguaglianza. E' abbastanza semplice fabbricarsi un controesempio: prendi magari $f(x)=1, g(x)={(-1, x>=0), (0, x<0):}$.
Il sup della somma è minore o uguale della somma dei sup.
Questo segue dalla proprietà di compatibilità di $+$ con $<=$: se $f(x)<=a, g(x)<=b$ allora $f(x)+g(x)<=a+b$. Questa disuguaglianza si prolunga al sup: $"sup"[f(x)+g(x)]<=a+b$. E se questo è vero per ogni $a$ maggiorante di $f$, e $b$ maggiorante di $g$, allora è vero anche per i minimi dei maggioranti: perciò
$"sup"[f(x)+g(x)]<="sup"f(x)+"sup"g(x)$.
Occhio che non vale l'uguaglianza. E' abbastanza semplice fabbricarsi un controesempio: prendi magari $f(x)=1, g(x)={(-1, x>=0), (0, x<0):}$.
Le formule 1)-16) valgono anche per insiemi illimitati (mutatis mutandis), se è questo che intendi
grazie piero e dissonance
@dissonance
e per l'inf? valgono relazioni simili?
@dissonance
e per l'inf? valgono relazioni simili?
"miuemia":
e per l'inf? valgono relazioni simili?
Non credo ti sconvolgerà scoprire che vale la stessa formula ma vista attraverso lo specchio:
$"inf"f(x)+"inf"g(x)<="inf"[f(x)+g(x)]$.
ok grazie mille a entrambi!!!
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