Proof: \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) è lim. super. \( \to \) \(A \) ammette massimo

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
mi trovo bloccato su di una dimostrazione, la quale a livello intuitivo è scontatissima ma non riesco a formalizzare la deduzione, la proprietà è la seguente:

[*:285r8820]Prop.1 :Siano dati \(A \subset \Bbb{R}\), allora $$A=\{c_1,c_2,...,c_n\} \mbox{ è lim. super. } \to A \mbox{ ammette massimo }$$[/*:m:285r8820][/list:u:285r8820]

la dimostrazione va condotta per induzione su \( n \geq 1 \), ergo:


[*:285r8820]Proof.1 :
\(n=1 \), allora \( A=\{c_1\} \) e quindi \( c_1 \in M(A) \wedge c_1 \in A \), allora \( c_1 \) è il massimo di \(A \)
\( n \to n+1 \), in questo caso devo fare vedere $$[A=\{c_1,c_2,...,c_n\} \mbox{ è lim. super. } \to A \mbox{ ammette massimo } ]\to $$$$\to [A=\{c_1,c_2,...,c_n,c_{n+1}\} \mbox{ è lim. super. } \to A \mbox{ ammette massimo }]$$ è facile vedere che \(A=\{c_1,c_2,...,c_n,c_{n+1}\} =\{c_1,c_2,...,c_n\} \cup \{c_{n+1}\}\), e per ipotesi \(\{c_1,c_2,...,c_n\}\) ammette massimo, che indico con \( z \), mentre \(\{c_{n+1}\} \) ha come massimo \(c_{n+1} \)... ora è intuitivo pensare che il \( \max(\{z,c_{n+1}\})\) è il massimo di \(A=\{c_1,c_2,...,c_n,c_{n+1}\} \), ma nella def. di massimo che ho imparato devo avere, in questo caso, in primis che \(\{z,c_{n+1}\} \) sia limitato superiormente e dopo considerare il suo massimo.. penso giusto? Se si, come faccio a dire/mostrare che è lim. superiormente? Se no, dove sbaglio? Cosa mi sfugge!? [/*:m:285r8820][/list:u:285r8820]

Ringrazio in anticipo!

Saluti

P.S.=Io ho pensato, visto che \( A \subset \Bbb{R} \) ed è limitato superiormente allora, dagli assiomi di \( \Bbb{R} \) esiste un estremo superiore, ovvero il minimo dei maggioranti di \( A \) (e quindi un maggiorante), e siccome \( z, c_{n+1} \in A \) allora \( z \leq \sup(A) \wedge c_{n+1} \leq A \)... ergo \( \{z,c_{n+1}\}\) è limitato superiormente e mi è lecito considerare il massimo ... giusto? Scusatemi per la banalità del post, ma nel mio testo una simile proprietà è nel capitolo dei numeri cardinali e roba simile, ma il docente non vuole sentirne parlare di ste cose ... ergo la dimostrazione è leggermente diversa e preferisco avere conferma! Ovviamente, se penso bene, valgono osservazioni equivalenti nel caso in cui \( A \) è limitato inferiormente allora ammette minimo, e nel caso in cui \( A \) è limitato allora ammette sia massimo che minimo! Mi sfugge ancora qualcosa, ovvero io devo dimostrare che quella proprietà è valida per \( n \geq 1 \) ma nella dimostrazione ho supposto che esiste il massimo per \(n=2 \), posso farlo o devo dimostrare che sia valida, non solo per \(n=1 \) ma,anche per \( n=2 \)?!

[Silente]

Sia \(\displaystyle A \) un insieme di numeri reali limitato superiormente, allora esso ammette estremo superiore. Devi dimostrare questo?

Se si...
Iniziamo dicendo subito che è solo un modo equivalente di enunciare l'assioma di completezza.

Se lo enunciamo diversamente, allora procediamo così..
Consideriamo l'insieme \(\displaystyle B \) dei maggioranti di \(\displaystyle A \), per l'assioma di completezza di \(\displaystyle \mathbb{R}\Rightarrow \exists c\in \mathbb{R}|a\leq c\leq b, a\in A, b \in B \), pertanto c è l'estremo superiore dell'insieme \(\displaystyle A \), minimo di \(\displaystyle B \).

Analoga la dimostrazione del caso inferiormente limitato.

Spero di esserti stato d'aiuto

[garnak.olegovitc1]

@Ianero,

"Ianero":Sia \(\displaystyle A \) un insieme di numeri reali limitato superiormente, allora esso ammette massimo. Devi dimostrare questo?

Se si...
Iniziamo dicendo subito che è solo un modo equivalente di enunciare l'assioma di completezza.

Se lo enunciamo diversamente, allora procediamo così..
Consideriamo l'insieme \(\displaystyle B \) dei maggioranti di \(\displaystyle A \), per l'assioma di completezza di \(\displaystyle \mathbb{R}\Rightarrow \exists c\in \mathbb{R}|a\leq c\leq b, a\in A, b \in B \), pertanto c è il massimo dell'insieme \(\displaystyle A \)

Analoga la dimostrazione del caso inferiormente limitato.

Spero di esserti stato d'aiuto

mm per me il massimo di \( A \) è un maggiorante di \( A \) ed è elemento di \( A \), nella tua dimostrazione vedo che \( c \) è il minimo dei maggioranti (ovvero l'\( \inf(B)\) per l'assioma di completezza visto anche che l'insieme dei maggioranti di \(A \) è limitato inferiormente (spero di non aver detto una fesseria)) e quindi un maggiorante di \( A \) ma non riesco a capire come possa essere elemento di \( A \) per dire che è il massimo (sempre se giusto ho interpretato e bene uso le definizioni)!

Saluti

[Silente]

Ho corretto sopra, volevo dire estremo superiore/inferiore, non massimo/minimo. Mi sono sbagliato, scusami.
Era questo ciò che chiedevi o la dimostrazione che cerchi è un'altra?

[garnak.olegovitc1]

@Ianero,

"Ianero":Ho corretto sopra, volevo dire estremo superiore/inferiore, non massimo/minimo. Mi sono sbagliato, scusami.
Era questo ciò che chiedevi o la dimostrazione che cerchi è un'altra?

"Ianero":Sia \(\displaystyle A \) un insieme di numeri reali limitato superiormente, allora esso ammette estremo superiore. Devi dimostrare questo?

Se si...
Iniziamo dicendo subito che è solo un modo equivalente di enunciare l'assioma di completezza.

Se lo enunciamo diversamente, allora procediamo così..
Consideriamo l'insieme \(\displaystyle B \) dei maggioranti di \(\displaystyle A \), per l'assioma di completezza di \(\displaystyle \mathbb{R}\Rightarrow \exists c\in \mathbb{R}|a\leq c\leq b, a\in A, b \in B \), pertanto c è l'estremo superiore dell'insieme \(\displaystyle A \), minimo di \(\displaystyle B \).

Analoga la dimostrazione del caso inferiormente limitato.

Spero di esserti stato d'aiuto

non tanto la dimostrazione che hai scritto deve essere un'altra quanto l'enunciato stesso.. il tuo è scontato, è anche ovvio se presento \( \Bbb{R} \) assiomaticamente ... a me interessa dimostrare che esiste il massimo!

Saluti & grazie delle risposte!

[Silente]

Credo di aver capito cosa chiedi.
Dunque, l'estremo superiore e il massimo sono certamente garantiti se trattiamo sottinsiemi finiti di \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Non vale sempre per insieme infiniti, come controesempio considera:
\(\displaystyle \left \{ x \in \mathbb{R}| 1\leq x<2 \right \} \)
Questo insieme ammetterà minimo ma non massimo, invece ammetterà sia estremo inferiore che superiore.
Per la tua dimostrazione quindi bisogna dire che "se un sottoinsieme finito di \(\displaystyle \mathbb{R} \) è limitato superiormente allora ammette estremo superiore e massimo.".
La dimostrazione è simile alla precedente, con la differenza che è possibile concludere che \(\displaystyle max(A) = sup(A) \) in quanto \(\displaystyle sup(A) \in A \) poiché non è altri che l'elemento di valore maggiore che è possibile scegliere all'interno di A.

[garnak.olegovitc1]

@Ianero,

"Ianero":Credo di aver capito cosa chiedi.
Dunque, l'estremo superiore e il massimo sono certamente garantiti se trattiamo sottinsiemi finiti di \(\displaystyle \mathbb{R} \).

precisamente! Volevo evitare di fare riferimento al termine "finiti"..
Quindi:
se \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) allora è limitato superiormente!
se \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) allora ammette massimo!
Possiamo procedere dimostrando la prima e poi la seconda se ti va bene, oppure prendere già \(A \) lim. superiormente e dimostrare la seconda!

Saluti

P.S.=Nel caso della mia dimostrazione all'inizio ho pensato di considerare anche il caso per \( n=2 \) e sfruttare la tricotomia dei reali, ergo studiare prima con \( z=c_{n+1}\) poi con \( zc_{n+1}\) .. procedo giustamente secondo te? (il dubbio mi viene poichè è disgiunzione forte quella nella tricotomia dei reali e non saprei se logicamente mi è lecito procedere in questo modo)

[Silente]

se \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) allora è limitato superiormente!

Qui basta concludere dicendo che è vero perché A è finito e riesci a trovare un maggiorante, e il resto è il messaggio in [2].

se \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) allora ammette massimo!

Essendo finito abbiamo \(\displaystyle n \) elementi.
Consideriamo il primo e poniamo \(\displaystyle M=a_0 \).
Consideriamo \(\displaystyle a_1 \): se \(\displaystyle a_1>M \Rightarrow M=a_1 \)
...
Consideriamo \(\displaystyle a_n \): se \(\displaystyle a_n>M \Rightarrow M=a_n \)

\(\displaystyle M \) assumerà almeno un valore \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle A \) ammette massimo e \(\displaystyle max(A)=M \).

EDIT: Ora ho letto il tuo PS..

sfruttare la tricotomia dei reali

Perché dividere il problema in 3 pezzi quando puoi risolverlo in un colpo solo?

[garnak.olegovitc1]

@Ianero,

"Ianero":

se \(A=\{c_1,c_2,...,c_n\}\) allora ammette massimo!

Essendo finito abbiamo \(\displaystyle n \) elementi.
Consideriamo il primo e poniamo \(\displaystyle M=a_0 \).
Consideriamo \(\displaystyle a_1 \): se \(\displaystyle a_1>M \Rightarrow M=a_1 \)
...
Consideriamo \(\displaystyle a_n \): se \(\displaystyle a_n>M \Rightarrow M=a_n \)

\(\displaystyle M \) assumerà almeno un valore \(\displaystyle \Rightarrow \) \(\displaystyle A \) ammette massimo e \(\displaystyle max(A)=M \).

è una dimostrazione o un algoritmo? Se è un algoritmo allora supponi \( n=2 \) avrei \( 3 \) passi/passaggi... non vedo questo "colpo solo"... tanto vale fare per tricotomia

Saluti

[Silente]

è una dimostrazione o un algoritmo

è una dimostrazione tramite un algoritmo. Questo tipo di dimostrazione viene ad esempio utilizzata spesso nella dimostrazione del teorema degli zeri (giusto come esempio).

Puoi procedere anche per altre vie ovviamente, tra cui quella che citi.

[Plepp]

"garnak.olegovitc":
devo avere, in questo caso, in primis che \(\{z,c_{n+1}\} \) sia limitato superiormente e dopo considerare il suo massimo.. penso giusto?

...e perché?

Una volta notato che sia $\{c_1,..., c_n\}$, sia $\{c_{n+1}\}$ hanno massimo (il primo per ipotesi induttiva in quanto insieme di $n$ elementi, il secondo per quanto "provato" nel passo base), concludi immediatamente ricordandoti che se $(E,\le)$ è un insieme totalmente ordinato e $A,B\subseteq E$ ammettono entrambi massimo, allora $A\cup B$ ammette pure lui massimo e
\[\max A\cup B =\max\left\{\max A, \max B\right\}\]
come avevi intuito. In questo caso forse non è manco il caso di chiamar in causa questo fatto: $\{z,c_{n+1}\}$ ammette certamente massimo, giacché $RR$ è totalmente ordinato e quindi puoi confrontare tra loro $z$ e $c_{n+1}$. In altri termini, si presentano solo due possibilità: $z\le c_{n+1}$ e $c_{n+1}\le z$. Dopodiché, come dicevi, è immediato che il suddetto massimo è proprio $\max A$.

Ciao

[garnak.olegovitc1]

@Plepp,

"Plepp":[quote="garnak.olegovitc"]
devo avere, in questo caso, in primis che \(\{z,c_{n+1}\} \) sia limitato superiormente e dopo considerare il suo massimo.. penso giusto?

...e perché?

Una volta notato che sia $\{c_1,..., c_n\}$, sia $\{c_{n+1}\}$ hanno massimo (il primo per ipotesi induttiva in quanto insieme di $n$ elementi, il secondo per quanto "provato" nel passo base), concludi immediatamente ricordandoti che se $(E,\le)$ è un insieme totalmente ordinato e $A,B\subseteq E$ ammettono entrambi massimo, allora $A\cup B$ ammette pure lui massimo e
\[\max A\cup B =\max\left\{\max A, \max B\right\}\]
come avevi intuito. In questo caso forse non è manco il caso di chiamar in causa questo fatto: $\{z,c_{n+1}\}$ ammette certamente massimo, giacché $RR$ è totalmente ordinato e quindi puoi confrontare tra loro $z$ e $c_{n+1}$. In altri termini, si presentano solo due possibilità: $z\le c_{n+1}$ e $c_{n+1}\le z$. Dopodiché, come dicevi, è immediato che il suddetto massimo è proprio $\max A$.

Ciao [/quote]

pardon.. mi ero dimenticato del post... mi ritrovo con le tue osservazioni, solo che preferisco usare non tanto il fatto che la relazione di ordine è totale quanto, sfruttando il fatto che $$x \leq y \leftrightarrow \mbox{ o } x=y \mbox{ o }x
Saluti

[Plepp]

"garnak.olegovitc":pardon.. mi ero dimenticato del post... mi ritrovo con le tue osservazioni, solo che preferisco usare non tanto il fatto che la relazione di ordine è totale quanto, sfruttando il fatto che $$x \leq y \leftrightarrow \mbox{ o } x=y \mbox{ o }x

E come sfrutti questo, cioè

"garnak.olegovitc":$$x \leq y \leftrightarrow \mbox{ o } x=y \mbox{ o }x
per arrivare a

"garnak.olegovitc":$$\mbox{o } z
?

La $(0)$ vale in qualsiasi insieme ordinato e segue immediatamente dalla definizione di $<$. Devi necessariamente tirare in ballo il fatto che l'ordine è totale per ottenere la $(1)$.

In generale, se $(E,\le)$ non è totalmente ordinato, per ogni coppia $x,y$ di elementi di $E$ hai
\[[x\le y] \vee [x\ge y] \vee [x\ \text{e}\ y\ \text{non sono confrontabili}]\]
Quando l'ordine è totale bisogna scartare l'ultima tra queste, e la precedente, scritta per $x=z$ e $y=c_{n+1}$, diventa proprio la $(1)$.

[garnak.olegovitc1]

@Plepp,

"Plepp":[quote="garnak.olegovitc"]pardon.. mi ero dimenticato del post... mi ritrovo con le tue osservazioni, solo che preferisco usare non tanto il fatto che la relazione di ordine è totale quanto, sfruttando il fatto che $$x \leq y \leftrightarrow \mbox{ o } x=y \mbox{ o }x

E come sfrutti questo, cioè

"garnak.olegovitc":$$x \leq y \leftrightarrow \mbox{ o } x=y \mbox{ o }x
per arrivare a

"garnak.olegovitc":$$\mbox{o } z
?

La $(0)$ vale in qualsiasi insieme ordinato e segue immediatamente dalla definizione di $<$. Devi necessariamente tirare in ballo il fatto che l'ordine è totale per ottenere la $(1)$.
[/quote]

che devo considerare un ordine totale mi sembra di averlo quasi detto/sottinteso, \( A \subset \Bbb{R}\), \(\Bbb{R}\) per me è un qualsiasi campo ordinato completo (proof: CLIC)

Saluti

[gugo82]

Per induzione.

Se la cardinalità dell'insieme è uguale ad \(1\) o \(2\), la cosa è banale. Ciò costituisce la base dell'induzione.

Supponiamo, ora, che la cosa sia vera per ogni insieme avente cardinalità \(=n\geq 2\) e proviamo che essa vale per ogni insieme avente cadinalità \(n+1\).
Sia \(A\) un insieme di cardinalità \(n+1\) e sia \(A^\prime\) un suo qualsiasi sottoinsieme di cardinalità \(n\); chiaramente \(A=A^\prime \cup \{ z\}\) con \(z\notin A^\prime\).
Per ipotesi induttiva \(A^\prime\) ha massimo, diciamolo \(M^\prime\). Posto \(M=\max \{M^\prime ,z\}\) (esistente, in virtù della base dell'induzione), è evidente che \(M\in A\) (poiché entrambi \(z\) ed \(M^\prime\) sono in \(A\)); inoltre è \(x\leq M\) per ogni \(x\in A^\prime\) (perchè \(x\leq M^\prime\) e per la transitività della relazione d'ordine) e \(z\leq M\), sicché \(x\leq M\) per ogni \(x\in A^\prime \cup \{z\}=A\). Ne segue che \(M=\max A\).

[garnak.olegovitc1]

@gugo82,

"gugo82":Per induzione.

Se la cardinalità dell'insieme è uguale ad \(1\) o \(2\), la cosa è banale. Ciò costituisce la base dell'induzione.

Supponiamo, ora, che la cosa sia vera per ogni insieme avente cardinalità \(=n\geq 2\) e proviamo che essa vale per ogni insieme avente cadinalità \(n+1\).
Sia \(A\) un insieme di cardinalità \(n+1\) e sia \(A^\prime\) un suo qualsiasi sottoinsieme di cardinalità \(n\); chiaramente \(A=A^\prime \cup \{ z\}\) con \(z\notin A^\prime\).
Per ipotesi induttiva \(A^\prime\) ha massimo, diciamolo \(M^\prime\). Posto \(M=\max \{M^\prime ,z\}\) (esistente, in virtù della base dell'induzione), è evidente che \(M\in A\) (poiché entrambi \(z\) ed \(M^\prime\) sono in \(A\)); inoltre è \(x\leq M\) per ogni \(x\in A^\prime\) (perchè \(x\leq M^\prime\) e per la transitività della relazione d'ordine) e \(z\leq M\), sicché \(x\leq M\) per ogni \(x\in A^\prime \cup \{z\}=A\). Ne segue che \(M=\max A\).

colpito e affondato... thanks soo much!

Saluti