Proof: $ a_n \to -\infty $ e $ b_n $ è lim. infer. da un num. reale pos. "allora" $a_n \cdot b_n \to -\infty$

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27 gen 2014, 16:31

Salve a tutti,
ormai ci sbatto la testa da qualche ora, ma non riesco a capire le osservazioni che fa il libro.. il teorema è il seguente:

"siano dati $ a_n $ un successione che diverge a $ -\infty $ e $ b_n $ una successione limitata inferiormente da un numero reale positivo non nullo (ovvero "$ \exists K \in \Bbb{R}^{>0}(\forall n \in \Bbb{N}(K\leq b_n)) $"), allora $ a_n \cdot b_n $ diverge a $ -\infty $"

Proof: sono riuscito a fare le sguenti considerazioni: per ipotesti $ a_n $ diverge $ -\infty $, quindi $$\forall M \in \Bbb{R}(\exists m \in \Bbb{N}(\forall n \geq m( a_n<-M)))$$ quindi scelgo un $ S \in \Bbb{R} $ tale che $ S=\frac{-M}{K} $, dato anche che $ K \neq 0 $, allora è anche vero $$ a_n<\frac{-M}{K}$$ e per le medesime osservazioni fatte prima su $ K $ avremo anche $$a_n \cdot K<-M$$ ora e da qui che non capisco quanto detto dal testo, esso dice:

[...] Da \( a_n \cdot b_n

a parte la parte da " si deduce" che è semplice... ma non capisco da dove prende, o cosa lo spinge a prendere/considerare, \( a_n \cdot b_n
Cordiali saluti

Risposte

vict85

27 gen 2014, 15:57

"garnak.olegovitc":
Proof: sono riuscito a fare le sguenti considerazioni: per ipotesti $ a_n $ diverge $ -\infty $, quindi $$\forall M \in \Bbb{R}(\exists m \in \Bbb{N}(\forall n \geq m( a_n<-M)))$$ quindi scelgo un $ S \in \Bbb{R} $ tale che $ S=\frac{-M}{K} $, dato anche che $ K \neq 0 $, allora è anche vero $$ a_n<\frac{-M}{K}$$

Questo sinceramente mi lascia un po' perplesso, e penso sia falso.

Se io per esempio ho $a_n = -n$ e $\displaystyle b_n > \frac12 $. Allora per $\displaystyle m=M+1 \in \mathbb{N}^{+} $ avrò che $\displaystyle \forall n\ge m $, $a_n = -n \le -m = -M-1 < M $. D'altra parte $\displaystyle a_m > -2M $ (per $\displaystyle M>1 $) e non il contrario! È però vero che esiste un $\displaystyle m' $ che rende vera quella relazione per ogni $\displaystyle n\ge m' $.

Una volta selezionato questo $\displaystyle m' $ avremo che $\displaystyle Ka_n < -M $ (ovvio dato che $\displaystyle K>0 $).

Serve per far vedere che la successione possiede $\displaystyle -\infty $ come unico punto di accumulazione.

garnak.olegovitc1

27 gen 2014, 16:04

@vict85,

"vict85":
[quote="garnak.olegovitc"]Proof: sono riuscito a fare le sguenti considerazioni: per ipotesti $ a_n $ diverge $ -\infty $, quindi $$\forall M \in \Bbb{R}(\exists m \in \Bbb{N}(\forall n \geq m( a_n<-M)))$$ quindi scelgo un $ S \in \Bbb{R} $ tale che $ S=\frac{-M}{K} $, dato anche che $ K \neq 0 $, allora è anche vero $$ a_n<\frac{-M}{K}$$

vict85

27 gen 2014, 16:21

No, mi riferivo al fatto che se scegli $S$ in quel modo allora $a_n$ non è necessariamente minore di $-S$. Insomma andava un commento aggiuntivo ed eventualmente un cambio del valore di $m$ nel caso in cui si avesse $K<1$.

gugo82

27 gen 2014, 20:34

Una dimostrazione così non bisogna di grossi sproloqui...

Per definizione esiste $K>0$ tale che per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha $b_n>K$; fissato $M>0$, dato che $a_n\to -\infty$, per definizione di limite in corrispondenza del numero positivo $M/K$ esiste un indice $\nu =\nu (M)\in \mathbb{N}$ tale che:
\[
\forall n\geq \nu,\ a_n<-\frac{M}{K}
\]
il che equivale a dire che $a_n K<-M$ per $n\geq \nu$; d'altro canto, il fatto che $a_n<0$ per $n\geq \nu$ implica che per $n\geq \nu$ si ha $a_n b_n \[
\left. \begin{split}
a_n\ b_n &< a_n\ K \\
a_n\ K& <-M \end{split}\right\}\quad \Rightarrow \quad a_n\ b_n<-M
\]
sempre per \(n\geq \nu$; per l'arbitrarietà nella scelta di $M$, quanto appena trovato equivale a dire che $\lim a_nb_n= -\infty$.

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Proof: \( a_n \to -\infty \) e \( b_n \) è lim. infer. da un num. reale pos. &quot;allora&quot; \(a_n \cdot b_n \to -\infty\)

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Proof: \( a_n \to -\infty \) e \( b_n \) è lim. infer. da un num. reale pos. "allora" \(a_n \cdot b_n \to -\infty\)