Prolungamento Serie Fourier
Ciao!
Di recente ho studiato le serie di Fourier, non sono molto difficili di studiare, anche perchè per trovare i coefficienti a_0, b_n ed a_n basta applicare le formulette e fare qualche integrale.
Il problema sorge quando bisogna considerare i prolungamenti in vari intervalli.
Dalla teoria so che:
data una funzione f definita in un inervallo limitato, ad esempio [0,a] si può definire una estensione periodica arbitraria di f e studiare la convergenza della serie di Fourier dell' estensione. Per questo se due funzioni sviluppabili in serie di Fourier coincidono in un intervallo alla le loro serie convergono allo stesso limite.
So anche che si può associare una serie di Fourier anche ad una funzione non periodica passando per una sua estensione periodica.
Detto questo, ho provato a fare degli esercizi su queste estensioni, ma non capisco molte cose.
Ad esempio sulla teoria del Marcellini-Sbordone ci sono due esempi, leggendo ho notato che praticamente lui calcola la serie normalmente e poi al posto di k sostituisce 2k+1, ma che vuol dire ? cioè secondo me non ha senso, è come se calcola la serie in modo normale, senza estensione...
Mi sapete dare delle delucidazioni in merito ? Magari con qualke esempio...
Di solito all'esame escono esercizi di questo tipo:
Come si risolvono ?
Grazie in anticipo!
Di recente ho studiato le serie di Fourier, non sono molto difficili di studiare, anche perchè per trovare i coefficienti a_0, b_n ed a_n basta applicare le formulette e fare qualche integrale.
Il problema sorge quando bisogna considerare i prolungamenti in vari intervalli.
Dalla teoria so che:
data una funzione f definita in un inervallo limitato, ad esempio [0,a] si può definire una estensione periodica arbitraria di f e studiare la convergenza della serie di Fourier dell' estensione. Per questo se due funzioni sviluppabili in serie di Fourier coincidono in un intervallo alla le loro serie convergono allo stesso limite.
So anche che si può associare una serie di Fourier anche ad una funzione non periodica passando per una sua estensione periodica.
Detto questo, ho provato a fare degli esercizi su queste estensioni, ma non capisco molte cose.
Ad esempio sulla teoria del Marcellini-Sbordone ci sono due esempi, leggendo ho notato che praticamente lui calcola la serie normalmente e poi al posto di k sostituisce 2k+1, ma che vuol dire ? cioè secondo me non ha senso, è come se calcola la serie in modo normale, senza estensione...
Mi sapete dare delle delucidazioni in merito ? Magari con qualke esempio...
Di solito all'esame escono esercizi di questo tipo:
Come si risolvono ?
Grazie in anticipo!
Risposte
Nessuno che mi possa dare delucidazioni in merito ? 
Sinceramente non ho capito molto bene cio' che chiedi.
Comunque provo a risponderti:
La serie di Fourier e' definita PER il prolungamento periodico della funzione di partenza quindi la serie di Fourier, se converge nell'intervallo di periodicita' converge in tutto IR alla funzione prolungata periodicamente. Non c'e' nessuna differenza fra la serie normale e quella "prolungata", sono LA STESSA COSA. Quindi cio' che devi fare e' calcolare la serie come hai sempre fatto. Quella e' gia' di per se "prolungata"...
Ho risposto?
Comunque provo a risponderti:
La serie di Fourier e' definita PER il prolungamento periodico della funzione di partenza quindi la serie di Fourier, se converge nell'intervallo di periodicita' converge in tutto IR alla funzione prolungata periodicamente. Non c'e' nessuna differenza fra la serie normale e quella "prolungata", sono LA STESSA COSA. Quindi cio' che devi fare e' calcolare la serie come hai sempre fatto. Quella e' gia' di per se "prolungata"...
Ho risposto?
mmm credo di aver quasi capito...
quasi...
Se volessi calcolare quella serie che ho postato prima, come dovrei fare ?
trovo i coefficienti prima di x tra 0 e pi-greco mezzi e poi i coefficienti di (pi-greco)-x in quell'altro intervallo ? e poi che faccio ?
quasi...
Se volessi calcolare quella serie che ho postato prima, come dovrei fare ?
trovo i coefficienti prima di x tra 0 e pi-greco mezzi e poi i coefficienti di (pi-greco)-x in quell'altro intervallo ? e poi che faccio ?
Io troverei i coefficienti direttamente su [0 pi]. E' sufficiente "spezzare" l'integrale fra [0 , pi/2] e (pi/2 , pi] e poi integrare per parti separatamente i due integrali.... In pratica dovrebbe venire che l'a_n e' la somma dell'a_n del primo intervallo e di quello del secondo, ma stando attenti al fatto che la funzione f e' pi-periodica e quindi sostituire T col valore corretto negli integrali (NON pi/2).
Per non sbagliare io non cercherei di spezzare f in due sotto-funzioni di cui fare le serie come proponi tu, ma terrei f per quello che e' e integrerei....
Per non sbagliare io non cercherei di spezzare f in due sotto-funzioni di cui fare le serie come proponi tu, ma terrei f per quello che e' e integrerei....
però la traccia dice: svilupparla in solo seni... quindi il coseno non dovrebbe uscire...
ma così facendo il coseno però esce...
ma così facendo il coseno però esce...
Grazie Luke!!!
Ho finalmente iniziato a capire come funziona la cosa! Grazie veramente!
Quindi una volta scritto il tutto mi basta scrivermi la serie dei soli seni integrando e dividendo gli integrali per ogni coefficiente considerando i tre intervalli... inoltre una buona verifica della cosa è che se si fa bene non dovrebbero uscire coseni non nulli... ed il viceversa nel caso che la funzione la si cerchi pari...
Grazie ancora!
Ho finalmente iniziato a capire come funziona la cosa! Grazie veramente!
Quindi una volta scritto il tutto mi basta scrivermi la serie dei soli seni integrando e dividendo gli integrali per ogni coefficiente considerando i tre intervalli... inoltre una buona verifica della cosa è che se si fa bene non dovrebbero uscire coseni non nulli... ed il viceversa nel caso che la funzione la si cerchi pari...
Grazie ancora!
Scusa non avevo letto di soli seni...
Il metodo di Luke1984 e' quello giusto.
Il metodo di Luke1984 e' quello giusto.
Ho provato a risolvere effettivamente l'esercizio, poi ho pensato che dato che la funzione è dispari posso anche considerare l'intervallo da 0 a pi-greco e calcolare qui l'integrale della funziona moltiplicandolo per due, dato che cmq dalla parte opposta la funzione si comporta uguale. Si può fare così ? Dovrebbero uscire due integrali vero ? uno della funzione x da 0 a pi-greco-mezzi e l'altro di pi-greco - x tra pi-greco mezzi e pi-greco, giusto ?
Però come dovrei scrivere l'integrale ? ho problemi a scrivere il periodo...
Però come dovrei scrivere l'integrale ? ho problemi a scrivere il periodo...
Grazie per l'aiuto!
non so in che formato siano, cmq al max puoi copiare la schermata del monitor, usando il tasto STAMP della tua tastiera e poi fare incolla in un programma di grafica, salvare il tutto in un formato leggero, tipo JPEG o PNG ed allegare la img nel post normalmente...
Però se faccio così... non mi sembra molto difficile l'esercizio, perchè a questo punto basta integrare le due funzioni che già vengono date nella traccia... anche se non ho capito bene ancora come scrivere effettivamente i due integrali...
non so in che formato siano, cmq al max puoi copiare la schermata del monitor, usando il tasto STAMP della tua tastiera e poi fare incolla in un programma di grafica, salvare il tutto in un formato leggero, tipo JPEG o PNG ed allegare la img nel post normalmente...
Però se faccio così... non mi sembra molto difficile l'esercizio, perchè a questo punto basta integrare le due funzioni che già vengono date nella traccia... anche se non ho capito bene ancora come scrivere effettivamente i due integrali...
carica la img su un qualche server e poi collegala al topic usando i tag
[img ] link della img [ /img]
ovviamente senza spazi...
cmq se vuoi potresti spiegarmelo anche a parole... vorrei solo capire come fare a scrivere i due integrali...
[img ] link della img [ /img]
ovviamente senza spazi...
cmq se vuoi potresti spiegarmelo anche a parole... vorrei solo capire come fare a scrivere i due integrali...
ok Grazie Luke!
Ultima domanda:
Quando integri consideri la funzione tra 0 e pi-greco, quindi l'intervallo è lungo solo pi-greco, oppure consideri la funzione con il prolungamento, quindi l'intervallo lo consideri da - pi-greco a pi-greco e quindi ti viene che è 2pi-greco ?
Ultima domanda:
Quando integri consideri la funzione tra 0 e pi-greco, quindi l'intervallo è lungo solo pi-greco, oppure consideri la funzione con il prolungamento, quindi l'intervallo lo consideri da - pi-greco a pi-greco e quindi ti viene che è 2pi-greco ?
mmm ok!
Ho capito, dato che cmq è pari consideriamo l'integrazione tra 0 e pi-greco due volte, dato che cmq dall'altro lato è sempre uguale, ci basta calcolarne la metà e moltiplicarla per due giusto ?
Se fosse stata dispari ?
Ho capito, dato che cmq è pari consideriamo l'integrazione tra 0 e pi-greco due volte, dato che cmq dall'altro lato è sempre uguale, ci basta calcolarne la metà e moltiplicarla per due giusto ?
Se fosse stata dispari ?
ok!
Grazie Luke!!!
Grazie Luke!!!
Ciao a tutti,
capisco che il post è estremamente vecchio ma devo risolvere esattamente lo stesso esercizio e vedo che alcuni dei messaggi del thread mancano. E' un mio problema o sono stati rimossi?
In ogni caso la funzione è: $f(x)= $ $ { ( x (per 0 <= x <= pi/2)) ,( pi-x (per pi/2<=x<=pi)):} $
Calcolando i coefficienti, mi trovo che $a0= Pi /2 $ ed
$an= ((-1)^n-1)/(pin^2)$ che per n pari è uguale a 0 e per n dispari è $= -2/(pin^2) $
Quindi $ f(x)= pi/4- 2/pi sum_(n = \1) cos (2nx)/n^2 $
E' corretto?
Grazie in anticipo
capisco che il post è estremamente vecchio ma devo risolvere esattamente lo stesso esercizio e vedo che alcuni dei messaggi del thread mancano. E' un mio problema o sono stati rimossi?
In ogni caso la funzione è: $f(x)= $ $ { ( x (per 0 <= x <= pi/2)) ,( pi-x (per pi/2<=x<=pi)):} $
Calcolando i coefficienti, mi trovo che $a0= Pi /2 $ ed
$an= ((-1)^n-1)/(pin^2)$ che per n pari è uguale a 0 e per n dispari è $= -2/(pin^2) $
Quindi $ f(x)= pi/4- 2/pi sum_(n = \1) cos (2nx)/n^2 $
E' corretto?
Grazie in anticipo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo