Prolungamento per parità e regolarità del prolungamento
Salve ragazzi, mi sono imbattuto nel seguente "problema" e non so se il modo in cui ho ragionato è corretto. Mi piacerebbe avere la vostra opinione a riguardo 
Ho una funzione $ g:[0,L] \rightarrow R \in C\^{2}[0,L] $ tale che $ g'(0)=g'(L)=0 $. La devo estendere per parità in $ [-L,L] $ e poi per periodicità (periodo 2L).
Quindi secondo me l'estensione $ \tilde{g}(x): R \rightarrow R $ deve essere:
$ \tilde{g}(x)=\{ (g(x), if x \in [0,L]),( g(-x), if x \in [-L,0] ), (\tilde{g}(x)=\tilde{g}(x+2kL), if x \in R and k\in Z):}$
Ora in $ (kL,(k+1)L) $ non ho problemi tanto $ \tilde{g}=g$ in $(0,L)$ e dunque per periodicità ho che $\tilde{g}$ è di classe due su tutti quegli intervalli. Il problema è dunque "raccordare" in maniera $ C\^{2} $ nei punti del tipo kL. Basta far vedere che cosa succede in 0 ed L tanto ho una funzione periodica quindi anche le derivate sono periodiche.
Secondo me non ci sono condizioni da porre su g affinchè essa sia di classe due perchè in 0 si ha $g''(0)=g''(L)=0 $perchè in 0 si deve avere che $lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(0+\epsilon)-\tilde{g'}(0)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{g'(\epsilon)}{\epsilon}$
mentre $ lim_{\epsilon \to 0\^{-}} \frac{\tilde{g'}(0+\epsilon)-\tilde{g'}(0)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(-\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{-\tilde{g'}(\epsilon)}{-\epsilon}$ ( sfrutto il fatto che se g è pari allora g' è dispari) e dunque i due limiti concidono.
In L invece si ha $ lim_{\epsilon \to 0\^{-}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)-\tilde{g'}(L)}{\epsilon} = lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L-\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{-\tilde{g'}(-L+\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(-L+\epsilon+2L)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)-\tilde{g'}(L)}{\epsilon}$
Dunque in entrambe i casi i limiti destri e sinistri coincidono e quindi $\tilde{g}(x)$ è $C\^{2}$.
Ora siccome l'esercizio mi richiede di trovare le condizioni su g e ho trovato che non devo porre nessuna condizione mi sembra strano che il mio ragionamento funzioni. Spero di essere stato abbastanza chiaro in ciò che ho scritto e vi ringrazio in anticipo ( se non mi risponderà nessuno starò ringraziando l'insieme vuoto che comunque esiste e quindi non fa di me un pazzo
)
Ho una funzione $ g:[0,L] \rightarrow R \in C\^{2}[0,L] $ tale che $ g'(0)=g'(L)=0 $. La devo estendere per parità in $ [-L,L] $ e poi per periodicità (periodo 2L).
Quindi secondo me l'estensione $ \tilde{g}(x): R \rightarrow R $ deve essere:
$ \tilde{g}(x)=\{ (g(x), if x \in [0,L]),( g(-x), if x \in [-L,0] ), (\tilde{g}(x)=\tilde{g}(x+2kL), if x \in R and k\in Z):}$
Ora in $ (kL,(k+1)L) $ non ho problemi tanto $ \tilde{g}=g$ in $(0,L)$ e dunque per periodicità ho che $\tilde{g}$ è di classe due su tutti quegli intervalli. Il problema è dunque "raccordare" in maniera $ C\^{2} $ nei punti del tipo kL. Basta far vedere che cosa succede in 0 ed L tanto ho una funzione periodica quindi anche le derivate sono periodiche.
Secondo me non ci sono condizioni da porre su g affinchè essa sia di classe due perchè in 0 si ha $g''(0)=g''(L)=0 $perchè in 0 si deve avere che $lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(0+\epsilon)-\tilde{g'}(0)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{g'(\epsilon)}{\epsilon}$
mentre $ lim_{\epsilon \to 0\^{-}} \frac{\tilde{g'}(0+\epsilon)-\tilde{g'}(0)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(-\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{-\tilde{g'}(\epsilon)}{-\epsilon}$ ( sfrutto il fatto che se g è pari allora g' è dispari) e dunque i due limiti concidono.
In L invece si ha $ lim_{\epsilon \to 0\^{-}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)-\tilde{g'}(L)}{\epsilon} = lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L-\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{-\tilde{g'}(-L+\epsilon)}{-\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(-L+\epsilon+2L)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)}{\epsilon}=lim_{\epsilon \to 0\^{+}} \frac{\tilde{g'}(L+\epsilon)-\tilde{g'}(L)}{\epsilon}$
Dunque in entrambe i casi i limiti destri e sinistri coincidono e quindi $\tilde{g}(x)$ è $C\^{2}$.
Ora siccome l'esercizio mi richiede di trovare le condizioni su g e ho trovato che non devo porre nessuna condizione mi sembra strano che il mio ragionamento funzioni. Spero di essere stato abbastanza chiaro in ciò che ho scritto e vi ringrazio in anticipo ( se non mi risponderà nessuno starò ringraziando l'insieme vuoto che comunque esiste e quindi non fa di me un pazzo
)
Risposte
Non ho letto tutto bene, ma mi sfugge dove imponi la continuità.
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