Prolungamento per continuità
Ciao a tutti 
Come da titolo, devo controllare se la funzione \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{\frac{x^2-4y^2}{x-y}} \) è prolungabile per contuinuità in $(0,0)$.
(ho già controllato il dominio della funzione, e impostato
\(\displaystyle \frac{x^2-4y^2}{x-y} \ge 0 \)
mi viene
\(\displaystyle dom(f): -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y>x \) )
Ora però non ho capito bene: siccome se un limite esiste esso è unico, e perciò indipendente da qualunque angolo con cui io mi avvicino a (0,0), mi basta vedere se il limite in coordinate polari è indipendente da $theta$ oppure bisogna imporre/controllare qualche altra condizione?
Nel primo caso otterrei:
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho^2 (\cos^2(\theta) - 4\sin^2(\theta))}{\rho (\cos(\theta)-\sin(\theta))}} = \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho (\cos^2(\theta) - 4\sin^2(\theta))}{\cos(\theta)-\sin(\theta)}} \)
che però non so se posso maggiorarlo scrivendo
\(\displaystyle \le \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho (-3)}{\cos(\theta)-\sin(\theta)}} = 0\)
Come da titolo, devo controllare se la funzione \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{\frac{x^2-4y^2}{x-y}} \) è prolungabile per contuinuità in $(0,0)$.
(ho già controllato il dominio della funzione, e impostato
\(\displaystyle \frac{x^2-4y^2}{x-y} \ge 0 \)
mi viene
\(\displaystyle dom(f): -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y>x \) )
Ora però non ho capito bene: siccome se un limite esiste esso è unico, e perciò indipendente da qualunque angolo con cui io mi avvicino a (0,0), mi basta vedere se il limite in coordinate polari è indipendente da $theta$ oppure bisogna imporre/controllare qualche altra condizione?
Nel primo caso otterrei:
\(\displaystyle \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho^2 (\cos^2(\theta) - 4\sin^2(\theta))}{\rho (\cos(\theta)-\sin(\theta))}} = \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho (\cos^2(\theta) - 4\sin^2(\theta))}{\cos(\theta)-\sin(\theta)}} \)
che però non so se posso maggiorarlo scrivendo
\(\displaystyle \le \lim_{\rho \rightarrow 0^+} \sqrt{\frac{\rho (-3)}{\cos(\theta)-\sin(\theta)}} = 0\)
Risposte
Ciao! 
il dominio non è corretto...quanto al discorso sulle coordinate polari puoi leggere qualcosina qui (lo trovi su qualsiasi libro di analisi II)
dubbio-su-coordinate-polari-per-limiti-a-2-variabili-t94870-30.html
Ciao!
Giuseppe
il dominio non è corretto...quanto al discorso sulle coordinate polari puoi leggere qualcosina qui (lo trovi su qualsiasi libro di analisi II)dubbio-su-coordinate-polari-per-limiti-a-2-variabili-t94870-30.html
Ciao!
Giuseppe
Sul dominio:
Allora devo aver sbagliato di brutto...
Riporto i calcoli che ho fatto:
Numeratore \(\displaystyle \ge 0 \)
\(\displaystyle 4y^2 \le x^2 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4}x^2 \Rightarrow -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \)
Denominatore \(\displaystyle > 0 \)
\(\displaystyle y < x \)
Mettendo insieme le soluzioni in un grafico di disequazioni ho trovato
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y > x \)
Allora devo aver sbagliato di brutto...
Riporto i calcoli che ho fatto:
Numeratore \(\displaystyle \ge 0 \)
\(\displaystyle 4y^2 \le x^2 \Rightarrow y^2 \le \frac{1}{4}x^2 \Rightarrow -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \)
Denominatore \(\displaystyle > 0 \)
\(\displaystyle y < x \)
Mettendo insieme le soluzioni in un grafico di disequazioni ho trovato
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y > x \)
E' proprio alla fine che sbagli...devi fare l'intersezione tra i due insiemi, non l'unione
[OT, lessicale]
Si dice prolungamento.
[/OT]
Si dice prolungamento.
[/OT]
Il dominio alla fine m'è venuto, ho anche controllato con un software.
Il problema del limite però rimane...
EDIT: il dominio è
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y > x \) quando x è positivo
\(\displaystyle x < y \le \frac{1}{2}x \cup y \ge -\frac{1}{2}x \) quando x è negativo
Il problema del limite però rimane...
EDIT: il dominio è
\(\displaystyle -\frac{1}{2}x \le y \le \frac{1}{2}x \cup y > x \) quando x è positivo
\(\displaystyle x < y \le \frac{1}{2}x \cup y \ge -\frac{1}{2}x \) quando x è negativo
...nessun suggerimento? 
[xdom="gugo82"]Forse non si era capito, ma quello di scrivere prolungamento nel titolo del thread era un suggerimento...[/xdom]
...titolo cambiato (ovvio che si era capito, ma non sapevo come cambiare il titolo)
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