Prolungamento naturale successione
Salve a tutti,
stavo studiando le successioni e qui parla di prolungamento natuarale di una succesisone, e dice che alcune funzioni lo ammettono ed alcune no.
Ad esempio dice che $an = (−1)n$ non ammette prolungamento naturale.
La mia domanda è quindi, come fare a sapere se una funzione ammtto o meno un prolungamento naturale? c'è un criterio?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
stavo studiando le successioni e qui parla di prolungamento natuarale di una succesisone, e dice che alcune funzioni lo ammettono ed alcune no.
Ad esempio dice che $an = (−1)n$ non ammette prolungamento naturale.
La mia domanda è quindi, come fare a sapere se una funzione ammtto o meno un prolungamento naturale? c'è un criterio?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
non si legge nulla della successione ...
"pier.armeli":
non si legge nulla della successione ...
Che intendi?
"Neptune":
Ad esempio dice che $an = (−1)n$ ...
Intanto ci sono tre punti interrogativi nella formula, e la rendono illeggibile!
Poi non so se intendevi $a_n=(-1)n$ oppure $a_n=(-1)^n$
Intendevo la seconda che hai scritto, ovvero elevato ad $n$
@Neptune: Cosa intendi per "prolungamento naturale"? Io non ho mai sentito usare questo termine.
Niente ne ho parlato con la professoressa ed era un termine "fittizzio", in realtà intendeva dire che era possibile prolungarle "naturalmente" senza dover fare modifiche semplicemente cambiandone il dominio. Mentre ce ne sono altre che per prolungarle devi comunque fare dei passaggi, e quindi non si possono prolungare "così naturalmente".
"Prolungare" in che modo?
Ma prolungare cosa e su quale insieme???
Prolungare da $NN$ a $RR$ la successione $an=(-1)^n$
Aaaaaaaaaah...
Direi che in questo caso il problema non è il prolungamento.
Insomma, esistono successioni che si ottengono a partire da funzioni elementari, definite almeno in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], per restrizione ad [tex]$\mathbb{N}$[/tex]: ad esempio, quella di termine generale [tex]$a_n=\frac{1}{n+1}$[/tex] si ottiene dalla restrizione ad [tex]$\mathbb{N}$[/tex] di [tex]$f(x):=\frac{1}{x+1}$[/tex].
Quindi non è la successione che viene prolungata ma, viceversa, è essa che si ottiene per restrizione; perciò il prolungamento sembra "naturale".
D'altra parte, non vedo che difficoltà ci sia con la successione di termine generale [tex]$a_n=(-1)^n$[/tex]: infatti è molto semplice notare che [tex]$(-1)^n=\cos n\pi$[/tex], quindi pure questa successione è ottenuta mediante restrizione.
Ammetto però che potrebbe essere questione di punti di vista e di gusto.
Direi che in questo caso il problema non è il prolungamento.
Insomma, esistono successioni che si ottengono a partire da funzioni elementari, definite almeno in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], per restrizione ad [tex]$\mathbb{N}$[/tex]: ad esempio, quella di termine generale [tex]$a_n=\frac{1}{n+1}$[/tex] si ottiene dalla restrizione ad [tex]$\mathbb{N}$[/tex] di [tex]$f(x):=\frac{1}{x+1}$[/tex].
Quindi non è la successione che viene prolungata ma, viceversa, è essa che si ottiene per restrizione; perciò il prolungamento sembra "naturale".
D'altra parte, non vedo che difficoltà ci sia con la successione di termine generale [tex]$a_n=(-1)^n$[/tex]: infatti è molto semplice notare che [tex]$(-1)^n=\cos n\pi$[/tex], quindi pure questa successione è ottenuta mediante restrizione.
Ammetto però che potrebbe essere questione di punti di vista e di gusto.
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