Prolungamento di funzioni di Sobolev
Recentemente è venuta fuori la questione della continuità delle immersioni di [tex]$W^{1,p}(\Omega)$[/tex] in [tex]$L^q(\Omega)$[/tex] ed è stato notato che, se si vuole anche la compattezza dell'immersione, serve richiedere un po' di "regolarità" sul bordo del dominio [tex]$\Omega$[/tex]*.
Questo fatto può apparire strano, ma è del tutto "naturale": insomma, la regolarità del bordo è una proprietà geometrica del dominio che influenza pesantemente le proprietà analitiche di uno spazio funzionale...
Ciò che ha solleticato la mia memoria è stato un fatto tecnico.
Per la dimostrazione della compattezza delle immersioni si cerca di usare il risultato di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (valido nel caso di funzioni definite in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]) anche nel caso in cui [tex]$\Omega$[/tex] non coincide con tutto [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]; per fare ciò, bisogna prolungare le funzioni di [tex]$W^{1,p} (\Omega)$[/tex] a funzioni di [tex]$W^{1,p} (\mathbb{R}^N)$[/tex] e questo si fa determinando un operatore di estensione [tex]$P:W^{1,p}(\Omega) \to W^{1,p} (\mathbb{R}^N)$[/tex] tale che:
i. [tex]$P$[/tex] è lineare,
ii. per ogni [tex]$u\in W^{1,p} (\Omega)$[/tex] si ha [tex]$Pu\big|_{\Omega} =u$[/tex] (quindi [tex]$Pu$[/tex] è un prolungamento di [tex]$u$[/tex] ad [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]),
iii. per ogni [tex]$u\in W^{1,p} (\Omega)$[/tex] si ha [tex]$\lVert Pu\rVert_{L^p} \leq C\ \lVert u\rVert_{L^p}$[/tex] e [tex]$\lVert Pu\rVert_{W^{1,p}} \leq C\ \lVert u\rVert_{W^{1,p}}$[/tex] con [tex]$C=C(\Omega ,p) >0$[/tex];
e la determinazione di tale operatore è effettivamente possibile se la frontiera di [tex]$\Omega$[/tex] è "regolare".
Tuttavia tempo fa mi era stato fatto notare che nel caso [tex]$p=2$[/tex] l'ipotesi di "regolarità" su [tex]$\partial \Omega$[/tex] non è necessaria a determinare l'operatore di estensione se è soddisfatta qualche ipotesi in più; invero mi era stato proposto il seguente:
Esercizio:
Sia [tex]$\Omega \subset \mathbb{R}^N$[/tex].
Se:
(*) [tex]$\forall u\in W^{1,2} (\Omega),\ \exists U\in W^{1,2} (\mathbb{R}^N):\quad U\big|_\Omega =u$[/tex]
allora esiste un operatore di estensione [tex]$P:W^{1,2} (\Omega) \to W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
Il succo di questo esercizio è che se ogni funzione [tex]$u\in W^{1,2} (\Omega)$[/tex] può essere prolungata "per conto suo" in una funzione di [tex]$W^{1,2} (\mathbb{R}^N)$[/tex], allora tutto lo spazio [tex]$W^{1,2} (\Omega)$[/tex] può essere pensato come sottospazio di [tex]$W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
L'idea che mi ero fatto era che si dovesse usare la struttura di spazio di Hilbert di [tex]$W^{1,2}$[/tex], però poi non sono riuscito ad andare fino in fondo alla faccenda.
Qualche idea?
__________
* Qui mi riferisco al fatto che [tex]$\partial \Omega$[/tex] ha da essere [tex]$C^1$[/tex].
In verità, al posto della regolarità [tex]$C^1$[/tex] basta richiedere condizioni meno stringenti (o più "esotiche"), come ad esempio [tex]$\text{$\Omega$ ha la proprietà di cono}$[/tex].
Questo fatto può apparire strano, ma è del tutto "naturale": insomma, la regolarità del bordo è una proprietà geometrica del dominio che influenza pesantemente le proprietà analitiche di uno spazio funzionale...
Ciò che ha solleticato la mia memoria è stato un fatto tecnico.
Per la dimostrazione della compattezza delle immersioni si cerca di usare il risultato di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (valido nel caso di funzioni definite in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]) anche nel caso in cui [tex]$\Omega$[/tex] non coincide con tutto [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]; per fare ciò, bisogna prolungare le funzioni di [tex]$W^{1,p} (\Omega)$[/tex] a funzioni di [tex]$W^{1,p} (\mathbb{R}^N)$[/tex] e questo si fa determinando un operatore di estensione [tex]$P:W^{1,p}(\Omega) \to W^{1,p} (\mathbb{R}^N)$[/tex] tale che:
i. [tex]$P$[/tex] è lineare,
ii. per ogni [tex]$u\in W^{1,p} (\Omega)$[/tex] si ha [tex]$Pu\big|_{\Omega} =u$[/tex] (quindi [tex]$Pu$[/tex] è un prolungamento di [tex]$u$[/tex] ad [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]),
iii. per ogni [tex]$u\in W^{1,p} (\Omega)$[/tex] si ha [tex]$\lVert Pu\rVert_{L^p} \leq C\ \lVert u\rVert_{L^p}$[/tex] e [tex]$\lVert Pu\rVert_{W^{1,p}} \leq C\ \lVert u\rVert_{W^{1,p}}$[/tex] con [tex]$C=C(\Omega ,p) >0$[/tex];
e la determinazione di tale operatore è effettivamente possibile se la frontiera di [tex]$\Omega$[/tex] è "regolare".
Tuttavia tempo fa mi era stato fatto notare che nel caso [tex]$p=2$[/tex] l'ipotesi di "regolarità" su [tex]$\partial \Omega$[/tex] non è necessaria a determinare l'operatore di estensione se è soddisfatta qualche ipotesi in più; invero mi era stato proposto il seguente:
Esercizio:
Sia [tex]$\Omega \subset \mathbb{R}^N$[/tex].
Se:
(*) [tex]$\forall u\in W^{1,2} (\Omega),\ \exists U\in W^{1,2} (\mathbb{R}^N):\quad U\big|_\Omega =u$[/tex]
allora esiste un operatore di estensione [tex]$P:W^{1,2} (\Omega) \to W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
Il succo di questo esercizio è che se ogni funzione [tex]$u\in W^{1,2} (\Omega)$[/tex] può essere prolungata "per conto suo" in una funzione di [tex]$W^{1,2} (\mathbb{R}^N)$[/tex], allora tutto lo spazio [tex]$W^{1,2} (\Omega)$[/tex] può essere pensato come sottospazio di [tex]$W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
L'idea che mi ero fatto era che si dovesse usare la struttura di spazio di Hilbert di [tex]$W^{1,2}$[/tex], però poi non sono riuscito ad andare fino in fondo alla faccenda.
Qualche idea?
__________
* Qui mi riferisco al fatto che [tex]$\partial \Omega$[/tex] ha da essere [tex]$C^1$[/tex].
In verità, al posto della regolarità [tex]$C^1$[/tex] basta richiedere condizioni meno stringenti (o più "esotiche"), come ad esempio [tex]$\text{$\Omega$ ha la proprietà di cono}$[/tex].
Risposte
Mah, non mi pare proprio una cosa ovvia... Secondo te se, brutalmente, definissimo $Pu = U$ avremmo speranze che questo $P$ sia già da solo il nostro operatore di estensione? Si tratterebbe di provare le due condizioni di continuità contenute nel punto iii), se capisco bene.
Però, non lo so. Sulla questione "operatori lineari che sono automaticamente continui", gli spazi di Hilbert hanno proprietà particolari? Ho pensato un po', ma non m'è venuto in mente niente (sarà che ieri sera ho fatto tardi e oggi mi sento piuttosto rimbambito
).
Però, non lo so. Sulla questione "operatori lineari che sono automaticamente continui", gli spazi di Hilbert hanno proprietà particolari? Ho pensato un po', ma non m'è venuto in mente niente (sarà che ieri sera ho fatto tardi e oggi mi sento piuttosto rimbambito
).
Guarda dissonance, nemmeno per me è "ovvio" come problema, infatti dopo un po' di tentativi infruttuosi ho lasciato stare...
Inoltre, lasciami spiegare meglio la situazione. La funzione [tex]$U$[/tex] in (*) non è necessariamente unica, quindi nemmeno il modo in cui definire [tex]$Pu$[/tex] è "ovvio".
Detto fuori dai simboli, la (*) assicura che ogni [tex]$u$[/tex] può essere prolungata in qualche modo su [tex]$\mathbb{R}^N\setminus \Omega$[/tex] in modo che ogni prolungamento sia in [tex]$W^{1,2} (\mathbb{R}^N)$[/tex]; però non dice altro... Quindi credo che la prima questione da affrontare (e forse proprio questo è il punto dell'esercizio) sia come definire [tex]$Pu$[/tex] partendo dalla (*), ossia quale dei possibili prolungamenti [tex]$U$[/tex] scegliere per costruire l'operatore di estensione.
Ora, la struttura di spazio di Hilbert di [tex]$W^{1,2}$[/tex] mi dà diverse cose che non ho in un altro spazio [tex]$W^{1,p}$[/tex] (ad esempio, esiste una base hilbertiana, oppure ogni sottospazio è complementato)... Però non vedo quale proprietà sfruttare per costruire in modo sensato [tex]$Pu$[/tex].
Inoltre, lasciami spiegare meglio la situazione. La funzione [tex]$U$[/tex] in (*) non è necessariamente unica, quindi nemmeno il modo in cui definire [tex]$Pu$[/tex] è "ovvio".
Detto fuori dai simboli, la (*) assicura che ogni [tex]$u$[/tex] può essere prolungata in qualche modo su [tex]$\mathbb{R}^N\setminus \Omega$[/tex] in modo che ogni prolungamento sia in [tex]$W^{1,2} (\mathbb{R}^N)$[/tex]; però non dice altro... Quindi credo che la prima questione da affrontare (e forse proprio questo è il punto dell'esercizio) sia come definire [tex]$Pu$[/tex] partendo dalla (*), ossia quale dei possibili prolungamenti [tex]$U$[/tex] scegliere per costruire l'operatore di estensione.
Ora, la struttura di spazio di Hilbert di [tex]$W^{1,2}$[/tex] mi dà diverse cose che non ho in un altro spazio [tex]$W^{1,p}$[/tex] (ad esempio, esiste una base hilbertiana, oppure ogni sottospazio è complementato)... Però non vedo quale proprietà sfruttare per costruire in modo sensato [tex]$Pu$[/tex].
Up, tanto per rilanciare la questione.
Purtroppo questo periodo ho poco tempo, anche se questo problema è interessante.
Butto lì una possibile strada (che non so dove possa portare).
Per ipotesi, $\forall u\in H^1(\Omega)$ l'insieme $W(u) := \{U\in H^1(\RR^n): U|_{\Omega} = u\}$ è non vuoto.
Tale insieme è anche convesso e chiuso; esiste quindi un unico elemento $Pu\in W(u)$ t.c. $|Pu| \le |v|$ per ogni $v\in W(u)$.
Questo mi sembra un buon candidato da utilizzare come estensione.
Butto lì una possibile strada (che non so dove possa portare).
Per ipotesi, $\forall u\in H^1(\Omega)$ l'insieme $W(u) := \{U\in H^1(\RR^n): U|_{\Omega} = u\}$ è non vuoto.
Tale insieme è anche convesso e chiuso; esiste quindi un unico elemento $Pu\in W(u)$ t.c. $|Pu| \le |v|$ per ogni $v\in W(u)$.
Questo mi sembra un buon candidato da utilizzare come estensione.
Ottimo suggerimento, Righello.
A dire la verità, la proprietà di proiezione sui convessi m'era proprio uscita di mente.
Chiamo [tex]$E(u)$[/tex] l'insieme che tu chiami [tex]$W(u)$[/tex]; che [tex]$E(u)$[/tex] sia convesso e chiuso si verifica facilmente.
Per il teorema sull'elemento di norma minima, esiste in ogni [tex]$E(u)$[/tex] un [tex]$\tilde{u}$[/tex] tale che [tex]$\lVert \tilde{u}\rVert_{W^{1,2}(\mathbb{R}^N)} =\min_{U\in E(u)} \lVert U\rVert_{W^{1,2}(\mathbb{R}^N)}$[/tex]; per il teorema di proiezione sui convessi, tale [tex]$\tilde{u}$[/tex] coincide con la proiezione di [tex]$0$[/tex] (applicazione nulla) su [tex]$E(u)$[/tex], ergo esso è l'unico elemento caratterizzato dalla disuguaglianza variazionale:
[tex]$\forall U\in E(u),\quad \langle \tilde{u},\tilde{u}-U\rangle\leq 0$[/tex].
Poniamo [tex]$P:W^{1,2}(\Omega) \ni u\mapsto \tilde{u} \in W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
La [tex]$P$[/tex] è omogenea: infatti fissato [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], si ha [tex]$E(\alpha u)=\alpha E(u)$[/tex] e quindi l'uguaglianza [tex]$P(\alpha u):=\widetilde{\alpha u}=\alpha\ \tilde{u}=\alpha Pu$[/tex] segue dalla precedente disuguaglianza variazionale.
Inoltre [tex]$P$[/tex] è additiva: invero, per [tex]$W\in E(u+v)$[/tex] si ha:
\[
\langle \tilde{u} +\tilde{v}, \tilde{u} +\tilde{v}-W\rangle =\langle \tilde{u} , \tilde{u} - (W -\tilde{v})\rangle +\langle \tilde{v} , \tilde{v} - (W -\tilde{u})\rangle
\]
e, visto che [tex]$W-\tilde{v} \in E(u)$[/tex] e [tex]$W-\tilde{u}\in E(v)$[/tex], dalla precedente e dalla disuguaglianza variazionale per [tex]$\tilde{u}$[/tex] e [tex]$\tilde{v}$[/tex] segue \(\langle \tilde{u} +\tilde{v}, \tilde{u} +\tilde{v}-W\rangle \leq 0\), sicché \(P(u+v):=\widetilde{u+v} =\tilde{u}+\tilde{v}=Pu+Pv\).
Conseguentemente la i è soddisfatta; d'altra parte la ii è soddisfatta per costruzione, sicché, per dimostrare che [tex]$P$[/tex] è un operatore d'estensione rimane da dimostrare la iii.
Per omogeneità, basta verificare le disuguaglianze iii per [tex]$u\in W^{1,2}(\Omega)$[/tex] aventi [tex]$\lVert u\rVert_{L^2(\Omega)}=1$[/tex] o [tex]$\lVert u\rVert_{W^{1,2}(\Omega)}=1$[/tex]... Però su come finire ci devo ancora pensare.
A dire la verità, la proprietà di proiezione sui convessi m'era proprio uscita di mente.
Chiamo [tex]$E(u)$[/tex] l'insieme che tu chiami [tex]$W(u)$[/tex]; che [tex]$E(u)$[/tex] sia convesso e chiuso si verifica facilmente.
Per il teorema sull'elemento di norma minima, esiste in ogni [tex]$E(u)$[/tex] un [tex]$\tilde{u}$[/tex] tale che [tex]$\lVert \tilde{u}\rVert_{W^{1,2}(\mathbb{R}^N)} =\min_{U\in E(u)} \lVert U\rVert_{W^{1,2}(\mathbb{R}^N)}$[/tex]; per il teorema di proiezione sui convessi, tale [tex]$\tilde{u}$[/tex] coincide con la proiezione di [tex]$0$[/tex] (applicazione nulla) su [tex]$E(u)$[/tex], ergo esso è l'unico elemento caratterizzato dalla disuguaglianza variazionale:
[tex]$\forall U\in E(u),\quad \langle \tilde{u},\tilde{u}-U\rangle\leq 0$[/tex].
Poniamo [tex]$P:W^{1,2}(\Omega) \ni u\mapsto \tilde{u} \in W^{1,2}(\mathbb{R}^N)$[/tex].
La [tex]$P$[/tex] è omogenea: infatti fissato [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], si ha [tex]$E(\alpha u)=\alpha E(u)$[/tex] e quindi l'uguaglianza [tex]$P(\alpha u):=\widetilde{\alpha u}=\alpha\ \tilde{u}=\alpha Pu$[/tex] segue dalla precedente disuguaglianza variazionale.
Inoltre [tex]$P$[/tex] è additiva: invero, per [tex]$W\in E(u+v)$[/tex] si ha:
\[
\langle \tilde{u} +\tilde{v}, \tilde{u} +\tilde{v}-W\rangle =\langle \tilde{u} , \tilde{u} - (W -\tilde{v})\rangle +\langle \tilde{v} , \tilde{v} - (W -\tilde{u})\rangle
\]
e, visto che [tex]$W-\tilde{v} \in E(u)$[/tex] e [tex]$W-\tilde{u}\in E(v)$[/tex], dalla precedente e dalla disuguaglianza variazionale per [tex]$\tilde{u}$[/tex] e [tex]$\tilde{v}$[/tex] segue \(\langle \tilde{u} +\tilde{v}, \tilde{u} +\tilde{v}-W\rangle \leq 0\), sicché \(P(u+v):=\widetilde{u+v} =\tilde{u}+\tilde{v}=Pu+Pv\).
Conseguentemente la i è soddisfatta; d'altra parte la ii è soddisfatta per costruzione, sicché, per dimostrare che [tex]$P$[/tex] è un operatore d'estensione rimane da dimostrare la iii.
Per omogeneità, basta verificare le disuguaglianze iii per [tex]$u\in W^{1,2}(\Omega)$[/tex] aventi [tex]$\lVert u\rVert_{L^2(\Omega)}=1$[/tex] o [tex]$\lVert u\rVert_{W^{1,2}(\Omega)}=1$[/tex]... Però su come finire ci devo ancora pensare.
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