Prolungamento derivata continuo

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Da molto tempo mi chiedo se sia possibile prolungare con continuità la derivata di una funzione. Supponiamo che esista finito il limite \(\lim_{x\to a^{\pm}}f'(x)\) dove $a$ è un punto di frontiera di un intervallo $I$ su cui è definita e derivabile la funzione $f:I\to\mathbb{R}$. Ho l'impressione, intuitivamente parlando pensando a come si può prolungare graficamente il grafico di una funzione, che si possa costruire un prolungamento $g$ di $f$ derivabile con derivata continua, la quale prolungherà quindi $f'$.
Vi sembra corretto? Se sì, qualcuno conosce una dimostrazione di questo fatto?
$+\infty$ grazie a tutti!!!

[Seneca1]

Prova a dare un'occhiata qui.

[gugo82]

Semplicemente, è un'impressione sbagliata.

Controesempio. La funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita da:
\[
f(x) := \begin{cases}
\cos x &\text{, se } x>0\\
0 &\text{, se } x=0\\
-\cos x &\text{, se } x<0
\end{cases}
\]
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; plot("-cos(x)",-6,0); plot("cos(x)",0,6); dot([0,0]);[/asvg]
è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) ed ha derivata:
\[
f^\prime (x) := \begin{cases}
-\sin x &\text{, se } x>0\\
\sin x &\text{, se } x<0
\end{cases}
\]
prolungabile per continuità su \(0\); tuttavia, non è possibile ridefinire la funzione \(f\) in \(0\) in modo che essa risulti derivabile, perché non si riesce a renderla nemmeno continua (figurarsi derivabile!).

[DavideGenova1]

Molto interessante... $\infty$ grazie, ragazzi!