Prolungamento continuità con funzione di classe $C^2$
Buongiorno, ho un esercizio che mi chiede di prolungare una funzione in un punto con una funzione di classe $C^2$.
$f(x)=sqrt(x)-((xlogx)/(x-1))$ questa è la funzione che non è definita in 1. Faccio il limite per $x->1$ e mi viene $=0$ . Adesso mi chiedo se come funzione richiesta vada bene una semplice $f(x)=x^2-1$. che è di classi $c^2$ ed in 1 vale 0. Ho sbagliato ragionamento?
$f(x)=sqrt(x)-((xlogx)/(x-1))$ questa è la funzione che non è definita in 1. Faccio il limite per $x->1$ e mi viene $=0$ . Adesso mi chiedo se come funzione richiesta vada bene una semplice $f(x)=x^2-1$. che è di classi $c^2$ ed in 1 vale 0. Ho sbagliato ragionamento?
Risposte
A questo punto potevi prendere una funzione ancora più semplice: \(f(x)=0\), no?
Certo che hai sbagliato ragionamento. La tua funzione è definita in \((0, \infty)\setminus\{1\}\). Devi definire una funzione in questo modo:
\[
g(x)=\begin{cases} \sqrt x - \left( \frac{x\log x}{x-1}\right), & x\ne 1\\ ???, & x=1\end{cases}\]
e sostituire a ??? un valore in modo tale che \(g\) sia di classe \(C^2\). Hai già visto che, necessariamente, ??? deve essere 0. Adesso ti tocca dimostrare, usando la definizione di derivata, che la funzione \(g\) è derivabile due volte e poi devi dimostrare che le derivate sono continue.
Certo che hai sbagliato ragionamento. La tua funzione è definita in \((0, \infty)\setminus\{1\}\). Devi definire una funzione in questo modo:
\[
g(x)=\begin{cases} \sqrt x - \left( \frac{x\log x}{x-1}\right), & x\ne 1\\ ???, & x=1\end{cases}\]
e sostituire a ??? un valore in modo tale che \(g\) sia di classe \(C^2\). Hai già visto che, necessariamente, ??? deve essere 0. Adesso ti tocca dimostrare, usando la definizione di derivata, che la funzione \(g\) è derivabile due volte e poi devi dimostrare che le derivate sono continue.
Ah ok avevo capito che il prlungamento doveva essere di classe c2.
Dunque ora se pongo $0$ quando $x=1$ , devo verificare che esista il rapporto incrementale in $1$?
Dunque ora se pongo $0$ quando $x=1$ , devo verificare che esista il rapporto incrementale in $1$?
Mi dice anche che dev'essere di classe $c^2((0,+infty))$ cambia qualcosa?
Il rapporti incrementale in 1 non esiste, quindi neanche il polinomio di Taylor centrato in 1 è valido dato che $f(1)=0$
Il rapporti incrementale in 1 non esiste, quindi neanche il polinomio di Taylor centrato in 1 è valido dato che $f(1)=0$
"vivi96":
Ah ok avevo capito che il prlungamento doveva essere di classe c2.
Dunque ora se pongo $0$ quando $x=1$ , devo verificare che esista il rapporto incrementale in $1$?
Non il rapporto incrementale, quello è ovvio che esiste. Devi studiare il *limite* del rapporto incrementale, è la definizione di derivata. Queste cose le devi sapere bene.
Si scusa, certe cose le do per scontato, comunque mi riferivo al limite. Invece per la seconda domanda? Ovvero che se non siste il limite del rapporto incrementale in $x0$ allora non esiste la derivata, quindi il polinomio di Taylor in quel punto non è definito a sua volta, sbaglio?
Qual è il problema? Non ho capito perché sei triste
Per quanto riguarda il polinomio di Taylor in quel punto, non può esistere
Se la funzione non è derivabile, certo che non può esistere.
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