Prolema lughezza di una curva parametrica

[Firsty]

Trovare la lunghezza della cicloide $ Gamma $ : $ { ( X=t-Sen(t) ),( Y= t- cos(t) ):} $ nell'intervallo t $
( ( 0 , 2pi ) ) $
Io ho trovato la derivata prima: $ Gamma { ( y'= 1- cos(t) ),( x'= 1- sen(t) ):} $
E ho fatto l'integrale $ int_(0)^(2pi ) sqrt(((1 - cos(t))^2 + (1 + sen(t))^2)dt $
Soltanto che sostituendo poi i valori 0 e 2 $ pi $ il risulato mi viene 0 e invece dovrebbe essere 8.
So che è perché è come se io calcolassi la lunghezza sempre in 0 ma come faccio a calcolarla fino a 2$ pi $?
Grazie in anticipo!

[Firsty]

Non ho capito l'ultima parte. quando sostituisco 0 e 2pi in $ 1- cos(t) $ ottengo 0.
in che senso devo usare u? credo di sbagliare l' perché non la uso quindi mi viene

$ sqrt(2)*[ (1 - cos2pi) - ( 1 - cos0)] $

$ sqrt(2)*[ (1 - 1) - ( 1 - 1)] = 0 $

[Firsty]

2 - 1 = 1
$ 2 - 1 = 1 $
Giusto... non stavo calcolando l 'integrale.
Mi starò incasinando ma non riesco ad andare oltre con la sostituzione.
$ int_(0)^(2pi) sqrt(1 - cost ) dt $
$ u = 1 - cost $
come ricavo t se è dentro il coseno per fare la derivata prima in base a u?
o derivo e basta? --- $ int_(0)^(2pi) sqrt(u)* sent * du $

[Firsty]

Mi spiegheresti come fai ad arrivare da questo \[ dt = \frac{1}{\sqrt{1-(1-u)^2}}du \; ; \]
a questo?
$ int_(0)^(2) (sqrt(u))/(1 - (u-1)^2] dx $
io arrivo a $ (sqrt(u)*sqrt(2-u)) /[ 1 - (1 - u)^2] $

e non so come arrivare ad avere il passaggio successivo \[ \cdots = 2\sqrt{2}\int_0^2 \frac{\sqrt{u}}{1-(1-u)^2}du = 2\sqrt{2}\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{2-u}} \]

Però mi è venuto!!!

$ -2sqrt(2) * int_(0)^(2) 2 *sqrt(2-u)* du $ = $ - 2 sqrt(2) * (-2sqrt(2) ) = 8 $

Grazie mille per la pazienza!

[Firsty]

ah ok graie mille TeM