Proiezione su un convesso chiuso

[alinrf]

Siano $C = { x in l^2, x = (xi_2,xi_2,...,xi_k,...) : xi_k>=0 AA k in NN } $ e $a = (alpha_1,alpha_2,...,alpha_k,...) in l^2$ . Se possibile, determinare la proiezione di $a$ su $C$.

Devo usate il Teorema di proiezione (diamo per scontato che $C$ sia un sottoinsieme convesso e chiuso di $l^2$)

So che ogni $alpha_k in RR$ si può scrivere come $alpha_k=alpha_k^+ - alpha_k^-$, dove
$alpha_k^+ = {(alpha_k\ ,se alpha_k>=0),(0 ,se alpha_k<0):}$ e $\ alpha_k^- = {(-alpha_k\ ,se alpha_k<0),(0 ,se alpha_k>=0):}$

Quindi prendo come candidato $P_C a$ il vettore $x=(alpha_1^+,alpha_2^+,...,alpha_k^+,...)$ e uso la caratterizzazione di $P_C a$, cioè verifico che sia $(x-a|b-x)>=0, AA b=(beta_k) in C$
cioè che $\sum_{k=1}^infty (alpha_k^+ - alpha_k)(beta_k - alpha_k^+) >=0$

Ora, $alpha_k^+ - alpha_k = alpha_k^-$$ >=0$, ma il secondo termine non è $>=0, AAkinNN$ (ad esempio potrei prendere $beta_k=0, AAkinNN$).


Come concludo che la somma è $>=0$ ??

[gugo82]

C'è un errore di segno... Infatti la proprietà caratteristica della proiezione si scrive \( (a-P_C a|b-P_C a)\leq 0\) per ogni \(b\in C\), quindi tu hai un fattore col segno invertito nel prodotto scalare.


*** EDIT: Ho detto una cavolata.

Ad ogni modo si verifica facilmente che:
\[
\begin{split}
(a-P_Ca | b-P_c a) &=\sum_{n=0}^\infty (\alpha_n - \alpha_n^+)(\beta_n-\alpha_n^+)\\
&= \sum_{n:\ \alpha_n<0} \alpha_n\ \beta_n\\
&\leq 0
\end{split}
\]
quindi tutto a posto.

[alinrf]

Grazie, ora è tutto chiaro.

Il segreto era notare che $AAkinNN, (alpha_k^+ -alpha_k)(beta_k-alpha_k^+)=alpha_k^(-)*(beta_h-alpha_k^+)=alpha_k^(-)*beta_k - alpha_k^(-)*alpha_k^(+)=alpha_k^(-)*beta_k>=0$
perchè $alpha_k^(-)*alpha_k^(+)=0$ per costruzione.

[alinrf]

E si invece fosse $C = { x in l^2, x = (xi_2,xi_2,...,xi_k,...) : 0 <= xi_k <= 1 AA k in NN } $
cosa prendo come candidata proiezione?

[gugo82]

Beh, non è immediato.
Prova a disegnare la cosa in dimensione \(2\) e \(3\) e vedi se riesci a generalizzare.