Proiezione ortogonale su un sottospazio
Perchè se ho che $ ||x-sum_(i = 1)^(n)P{::}_(Wi)x|| leq ||x-x{::}_(n){::}_(k)||leq 1/k $ , dove $ P{::}_(Wk)x $ è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio $ W{::}_(i) $ , si deduce facilemnte che $ x=sum_(k = 1)^(oo)P{::}_(Wk)x $ ?
Risposte
Ma questo quesito è così difficile? Vorrei saperlo perchè se è così probabilmente il prof. avrà fatto qualche errore sulle dispense. Grazie.
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Per venire alla tua domanda, il quesito è molto semplice a patto di chiarire cosa si intende per $x= \sum_{k=1}^\infty P_{W_k}x$. Si tratta di una somma infinita e devi specificare una nozione di convergenza; in genere parlando di spazi normati in astratto si assume che questa sia
$(x= \sum_{k=1}^\infty P_{W_k}x) \iff ( lim_{n \to \infty}||x-\sum_{i=1}^n P_{W_i}x||=0)$.
Il tuo prof. ha mostrato che si verifica quest'ultima eventualità usando implicitamente il teorema dei due carabinieri.
Per venire alla tua domanda, il quesito è molto semplice a patto di chiarire cosa si intende per $x= \sum_{k=1}^\infty P_{W_k}x$. Si tratta di una somma infinita e devi specificare una nozione di convergenza; in genere parlando di spazi normati in astratto si assume che questa sia
$(x= \sum_{k=1}^\infty P_{W_k}x) \iff ( lim_{n \to \infty}||x-\sum_{i=1}^n P_{W_i}x||=0)$.
Il tuo prof. ha mostrato che si verifica quest'ultima eventualità usando implicitamente il teorema dei due carabinieri.
Grazie. Scusa se ho sollecitato. Non lo sapevo. Non lo farò più.
Potresti essere più chiaro perchè non ho capito. Ma la tua è una definizione?
Potresti essere più chiaro perchè non ho capito. Ma la tua è una definizione?
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