Proiezione di una funzione su di uno spazio funzionale
Salve,
Sto leggendo una dispensa estremamente interessante: http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... ap.4-6.pdf però non riesco a capire alcune cose.
La formula per la proiezione di un vettore \(\displaystyle \vec x \) su di un sottospazio dello spazio a cui appartiene è il vettore:
\(\displaystyle \vec y = \sum_{i=1}^n \frac{\vec x \cdot \vec x_i}{|\vec x_i|^2}\vec x_i \)
(\(\displaystyle \vec x_i, i=1, 2, ..., n \) sono i vattori della base che genera il sottospazio.)
Siccome sia la norma che il prodotto scalare possono essere generalizzati per funzioni, la formula precedente, in teoria, dovrebbe essere valida anche nel caso lo spazio su cui si voglia proiettare sia uno spazio di funzioni. Ma allora perché nella dispensa linkata all'inizio, a pagina 4, l'esempio 4.4 non viene calcolato in quel modo?
L'esempio è: \(\displaystyle f(x)=sin\left (\frac{\pi}{2}t\right ) \), considerata sull'intervallo \(\displaystyle [0,1] \).
Vogliamo proiettarlo su di uno spazio \(\displaystyle y=c_1*1+c_2*t \) (polinomi di primo grado), la formula con la sommatoria impone di calcolare
\(\displaystyle c_1 = \frac{f(x)\cdot 1}{1\cdot 1} = \frac{\int_0^1 \sin\left (\frac{\pi}{2}t\right )dt}{\int_0^1 dt} \approx 0.63662 \)
mentre secondo la dispensa dovrebbe essere \(\displaystyle c_1 \approx 0.114 \).
Anche per \(\displaystyle c_2 \) ottengo un risultato diverso. Dove sto sbagliando?
Sto leggendo una dispensa estremamente interessante: http://areeweb.polito.it/didattica/poly ... ap.4-6.pdf però non riesco a capire alcune cose.
La formula per la proiezione di un vettore \(\displaystyle \vec x \) su di un sottospazio dello spazio a cui appartiene è il vettore:
\(\displaystyle \vec y = \sum_{i=1}^n \frac{\vec x \cdot \vec x_i}{|\vec x_i|^2}\vec x_i \)
(\(\displaystyle \vec x_i, i=1, 2, ..., n \) sono i vattori della base che genera il sottospazio.)
Siccome sia la norma che il prodotto scalare possono essere generalizzati per funzioni, la formula precedente, in teoria, dovrebbe essere valida anche nel caso lo spazio su cui si voglia proiettare sia uno spazio di funzioni. Ma allora perché nella dispensa linkata all'inizio, a pagina 4, l'esempio 4.4 non viene calcolato in quel modo?
L'esempio è: \(\displaystyle f(x)=sin\left (\frac{\pi}{2}t\right ) \), considerata sull'intervallo \(\displaystyle [0,1] \).
Vogliamo proiettarlo su di uno spazio \(\displaystyle y=c_1*1+c_2*t \) (polinomi di primo grado), la formula con la sommatoria impone di calcolare
\(\displaystyle c_1 = \frac{f(x)\cdot 1}{1\cdot 1} = \frac{\int_0^1 \sin\left (\frac{\pi}{2}t\right )dt}{\int_0^1 dt} \approx 0.63662 \)
mentre secondo la dispensa dovrebbe essere \(\displaystyle c_1 \approx 0.114 \).
Anche per \(\displaystyle c_2 \) ottengo un risultato diverso. Dove sto sbagliando?
Risposte
Idee?
nessuno?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo