Progressione geometrica per ragione minore di -1
Buongiorno, sto provando a verificare che
Sia $q<-1$ allora $lim q^n=infty$.
Quindi dalla definizione ho
$lim q^n=infty leftrightarrow forall I in I(infty) exists nu in NN \ : forall n in NN, n ge nu \ {q^n} in I$
Ora so che gli intorni di $infty$ sono del tipo, $(-infty, -a) cup(a, infty)$ per ogni $a in RR$ , $a>0$, allora fissato un intorno di $infty$ ho che
$ q^n \in I leftrightarrow q^n in (-infty, -a) cup(a, infty) leftrightarrow q^n in (-infty, -a) $ o $ q^n in (a, +infty)$
cioè
$(q^n in (-infty, -a) leftrightarrow -infty
quindi
$a
quindi basta prendere $nu:= log a/log q$ affinché si verifichi $forall n in NN, n ge nu \ {q^n} in I$
Ho un dubbio, questo caso $(q^n in (-infty, -a) leftrightarrow -infty
Può andare bene come ?
Saluti.
Sia $q<-1$ allora $lim q^n=infty$.
Quindi dalla definizione ho
$lim q^n=infty leftrightarrow forall I in I(infty) exists nu in NN \ : forall n in NN, n ge nu \ {q^n} in I$
Ora so che gli intorni di $infty$ sono del tipo, $(-infty, -a) cup(a, infty)$ per ogni $a in RR$ , $a>0$, allora fissato un intorno di $infty$ ho che
$ q^n \in I leftrightarrow q^n in (-infty, -a) cup(a, infty) leftrightarrow q^n in (-infty, -a) $ o $ q^n in (a, +infty)$
cioè
$(q^n in (-infty, -a) leftrightarrow -infty
quindi
$a
quindi basta prendere $nu:= log a/log q$ affinché si verifichi $forall n in NN, n ge nu \ {q^n} in I$
Ho un dubbio, questo caso $(q^n in (-infty, -a) leftrightarrow -infty
Può andare bene come ?
Saluti.
Risposte
Puoi distinguere i due casi in cui $\nu$ e' pari e quindi $q^n > 0$ oppure $\nu $ e' dispari e quindi $q^n < 0$.
Una volta fatta questa discriminazione puoi sempre prendere il $log (-a)$ se $a < 0$.
Una volta fatta questa discriminazione puoi sempre prendere il $log (-a)$ se $a < 0$.
Ciao Quinzio.
Quindi, il caso discusso da me va bene cioè questo $ q^n in (a, +infty) $ ?
Quindi, il caso discusso da me va bene cioè questo $ q^n in (a, +infty) $ ?
"Quinzio":non capisco, cioè il valore di $nu$ lo determino a partire da $-infty
Puoi distinguere i due casi in cui $ \nu $ e' pari e quindi $ q^n > 0 $ oppure $ \nu $ e' dispari e quindi $ q^n < 0 $.
Ti conviene dimostrare che $|q^n| \to +\infty$ per $n\to+\infty$. Inoltre, occhio quando passi ai logaritmi: ad un certo punto ti viene $\log q^n$ che, quando $n$ è dispari, non è reale in quanto $q<-1$.
Ma devi usare per forza la definizione? O puoi usare anche altri approcci?
Ma devi usare per forza la definizione? O puoi usare anche altri approcci?
Mephlip no, non devo per forza usare la definizione
Ciao compa90,
Innanzitutto stiamo parlando di serie geometrica e non di progressione geometrica...
Vediamo se ti può essere utile questo approccio.
Partiamo dalla facilmente verificabile identità seguente:
$(1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n)(1 - q) = 1 - q^{n + 1} $
Se $q \ne 1 $ si può scrivere:
$ 1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n = (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Cioè, in forma più compatta:
$\sum_{k = 0}^{n} q^k = (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Quindi si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} q^k := \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Nell'ultimo limite l'unico termine che dipende da $n$ è il secondo a numeratore, quindi tutto dipende dal $ \lim_{n \to +\infty} q^{n + 1} $ e si possono distinguere $4$ casi:
1) se $q > 1 $ il limite risulta $+\infty $ e pertanto la serie geometrica è positivamente divergente. Peraltro lo stesso accade anche nel caso in cui $q = 1 $, perché si avrebbe $\sum_{k = 0}^{n} 1 = n + 1 $ e quindi ovviamente $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} 1 = \lim_{n \to +\infty} (n + 1) = +\infty $
2) se $- 1 < q < 1 $ allora si ha $\lim_{n \to +\infty} q^{n + 1} = 0 $ (prova a moltiplicare molte volte per sè stesso un numero compreso fra $- 1$ e $1$ ed osserva che cosa accade...) ed in tal caso si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} q^k := \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - q^{n + 1})/(1 - q) = (1 - 0)/(1 - q) = 1/(1 - q) $
3) Se $q = - 1 $ allora il $\lim_{n \to +\infty} q^n = \lim_{n \to +\infty} (- 1)^n $ non esiste (d'altronde si avrebbe $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +... $) e la serie geometrica è indeterminata o irregolare;
4) Se $q < - 1 $ allora il $\lim_{n \to +\infty} q^n $ non esiste e la serie geometrica è indeterminata (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere positivamente divergente della serie geometrica, intendendo che $\lim_{n \to +\infty} |s_n(q)| = \lim_{n \to +\infty} | (1 - q^{n + 1})/(1 - q) | = +\infty $)
Innanzitutto stiamo parlando di serie geometrica e non di progressione geometrica...
Vediamo se ti può essere utile questo approccio.
Partiamo dalla facilmente verificabile identità seguente:
$(1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n)(1 - q) = 1 - q^{n + 1} $
Se $q \ne 1 $ si può scrivere:
$ 1 + q + q^2 + q^3 + ... + q^n = (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Cioè, in forma più compatta:
$\sum_{k = 0}^{n} q^k = (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Quindi si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} q^k := \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - q^{n + 1})/(1 - q) $
Nell'ultimo limite l'unico termine che dipende da $n$ è il secondo a numeratore, quindi tutto dipende dal $ \lim_{n \to +\infty} q^{n + 1} $ e si possono distinguere $4$ casi:
1) se $q > 1 $ il limite risulta $+\infty $ e pertanto la serie geometrica è positivamente divergente. Peraltro lo stesso accade anche nel caso in cui $q = 1 $, perché si avrebbe $\sum_{k = 0}^{n} 1 = n + 1 $ e quindi ovviamente $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} 1 = \lim_{n \to +\infty} (n + 1) = +\infty $
2) se $- 1 < q < 1 $ allora si ha $\lim_{n \to +\infty} q^{n + 1} = 0 $ (prova a moltiplicare molte volte per sè stesso un numero compreso fra $- 1$ e $1$ ed osserva che cosa accade...) ed in tal caso si ha:
$ \sum_{k = 0}^{+\infty} q^k := \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 0}^{n} q^k = \lim_{n \to +\infty} (1 - q^{n + 1})/(1 - q) = (1 - 0)/(1 - q) = 1/(1 - q) $
3) Se $q = - 1 $ allora il $\lim_{n \to +\infty} q^n = \lim_{n \to +\infty} (- 1)^n $ non esiste (d'altronde si avrebbe $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +... $) e la serie geometrica è indeterminata o irregolare;
4) Se $q < - 1 $ allora il $\lim_{n \to +\infty} q^n $ non esiste e la serie geometrica è indeterminata (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere positivamente divergente della serie geometrica, intendendo che $\lim_{n \to +\infty} |s_n(q)| = \lim_{n \to +\infty} | (1 - q^{n + 1})/(1 - q) | = +\infty $)
@Pilloeffe: Sei sicuro di aver scritto qualcosa che c'entra davvero con la domanda di OP?
@compa90: Vedo qui ed in un altro post un errore di sintassi, cioè $\{ q^n\} in I$... Potresti correggere? Grazie.
@compa90: Vedo qui ed in un altro post un errore di sintassi, cioè $\{ q^n\} in I$... Potresti correggere? Grazie.
Allora ti direi di usare la disuguaglianza di Bernoulli per dimostrare che $|q^n| \to +\infty$ per $n\to+\infty$. L'hai vista nel tuo corso di studi?
@gugo82: $ \{ q^n\} subseteq I $
@mephlip:
Comunque la conosco, se ho capito quello che mi stai suggerendo, e di osservare che
$|q^n|=|q|^n$, dove $|q|>1$ sapendo che $q<-1$, quindi, ricondurmi al caso che già conosco, il quale, come hai già detto, si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, infatti, posto per semplicità $a=|q|$, quindi
poiché $a>1$ si ha che $1+n(a-1) to + infty$ quando $n$ tende a $+ infty$, allora per il teorema del confronto, si ha che $a^n to + infty$ per $n to + infty$.
Ora come posso collegare quello che mi hai suggerito con la mia richiesta?
@mephlip:
"Mephlip":Studio da solo seguendo il programma.
L'hai vista nel tuo corso di studi?
Comunque la conosco, se ho capito quello che mi stai suggerendo, e di osservare che
$|q^n|=|q|^n$, dove $|q|>1$ sapendo che $q<-1$, quindi, ricondurmi al caso che già conosco, il quale, come hai già detto, si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, infatti, posto per semplicità $a=|q|$, quindi
$a^n ge 1+n(a-1)$
poiché $a>1$ si ha che $1+n(a-1) to + infty$ quando $n$ tende a $+ infty$, allora per il teorema del confronto, si ha che $a^n to + infty$ per $n to + infty$.
Ora come posso collegare quello che mi hai suggerito con la mia richiesta?
Sì, esatto!
Mi risolvi, per $t>0$ fissato, la disequazione $|x| > t$ per $x\in\mathbb{R}$? Dopo averlo fatto, cosa deduci da essa riguardo al tuo problema usando quello che ti ho fatto dimostrare?
"compa90":
Ora come posso collegare quello che mi hai suggerito con la mia richiesta?
Mi risolvi, per $t>0$ fissato, la disequazione $|x| > t$ per $x\in\mathbb{R}$? Dopo averlo fatto, cosa deduci da essa riguardo al tuo problema usando quello che ti ho fatto dimostrare?
Con i tuoi dati, $|x|>t <=> x<-t$ o $x>t$.
Quindi, ho dimostrato che, se $q<-1$ allora $lim |q|^n=+infty$, quindi, dalla definizione di limite di successione numerica divergente, posso dire che, qualunque sia $a>0$ esiste un numero $nu in NN$ tale che per ogni $n in NN$, con $n ge nu$ $|q|^n>a$, in simboli
quindi, in particolare
che dovrebbe coincidere con la definizione data da me all'inizio.
Giusto?
Quindi, ho dimostrato che, se $q<-1$ allora $lim |q|^n=+infty$, quindi, dalla definizione di limite di successione numerica divergente, posso dire che, qualunque sia $a>0$ esiste un numero $nu in NN$ tale che per ogni $n in NN$, con $n ge nu$ $|q|^n>a$, in simboli
$lim |q|^n=+infty <=> forall a in RR, a>0 \ exists nu in NN \ : forall n in NN, \ n ge nu, |q|^n>a$
quindi, in particolare
$q^n<-a \ vee q^n>a, forall n in NN, n ge nu$
che dovrebbe coincidere con la definizione data da me all'inizio.
Giusto?
Sì, giusto.
Grazie mephlip!
Ti posso chiedere se sei un professore? Puoi anche non rispondere !
Ti posso chiedere se sei un professore? Puoi anche non rispondere !
Prego! No, magari 
. Sono stato un po' a fisica e, recentemente, sono passato a matematica.
. Sono stato un po' a fisica e, recentemente, sono passato a matematica.
Ok !
Ti faccio lo stesso la domanda, tanto è più un parere, niente di più :
Se uno studente studia il programma di riferimento di un corso, ma non dai testi di riferimento ma da altri.
Secondo te è fattibile, nel senso che lo può passare l'esame? ovviamente rispondendo correttamente alle domande proposte.
Ti faccio lo stesso la domanda, tanto è più un parere, niente di più :
Se uno studente studia il programma di riferimento di un corso, ma non dai testi di riferimento ma da altri.
Secondo te è fattibile, nel senso che lo può passare l'esame? ovviamente rispondendo correttamente alle domande proposte.
Ti mando un messaggio privato, qui è off-topic.
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