Produttoria e polinomi
Buongiorno.
Ho preso alcuni appunti durante una delle prime lezioni di matematica che trattavano argomenti semplici, tra i quali la sommatoria e la produttoria. Il problema è sorto quando ho provato a rileggere i miei appunti...
Nel quaderno ho scritto:
PRODUTTORIA
$\prod_{i=1}^{n}a_i = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_n$
(Fin qui nessun problema)
Polinomio può essere scritto nella forma $P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0$
Pensiamo di conoscere gli zeri del polinomio ($P_n(x) : P_n(\bar{x}) | P_n(\bar{x_1})=0, \forall i \in N_0$).
$P_n(x) = x_n(x \cdot \bar{x_1}) \cdot (x \cdot \bar{x_2}) \cdot ... \cdot x_n(x \cdot \bar{x_n})$
$\Rightarrow P_n(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^{n}(x-\bar{x_i})$
Come ben si capisce, non sono molto ferrato in matematica... e la velocità con la quale devo scrivere gli appunti...
Mi potreste gentilmente spiegare i passaggi, magari con un esempio "numerico"? Non ho ben capito come poter descrivere un polinomio con una produttoria (anche se il concetto di produttoria l'ho afferrato).
Vi ringrazio
Ho preso alcuni appunti durante una delle prime lezioni di matematica che trattavano argomenti semplici, tra i quali la sommatoria e la produttoria. Il problema è sorto quando ho provato a rileggere i miei appunti...
Nel quaderno ho scritto:
PRODUTTORIA
$\prod_{i=1}^{n}a_i = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_n$
(Fin qui nessun problema)
Polinomio può essere scritto nella forma $P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0$
Pensiamo di conoscere gli zeri del polinomio ($P_n(x) : P_n(\bar{x}) | P_n(\bar{x_1})=0, \forall i \in N_0$).
$P_n(x) = x_n(x \cdot \bar{x_1}) \cdot (x \cdot \bar{x_2}) \cdot ... \cdot x_n(x \cdot \bar{x_n})$
$\Rightarrow P_n(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^{n}(x-\bar{x_i})$
Come ben si capisce, non sono molto ferrato in matematica... e la velocità con la quale devo scrivere gli appunti...
Mi potreste gentilmente spiegare i passaggi, magari con un esempio "numerico"? Non ho ben capito come poter descrivere un polinomio con una produttoria (anche se il concetto di produttoria l'ho afferrato).
Vi ringrazio
Risposte
io leggo solo tutto un "invalid-markup" qua e la che non so che sia! 
E' colpa di \overline . Usate \bar .
"Fox":Strano, il mio web browser (IE 8) lo interpreta benissimo... Ok, modifico \overline con \bar (sperando che il problema si risolva).
io leggo solo tutto un "invalid-markup" qua e la che non so che sia!
Comunque in parte ho risolto. Quello che mi sfuggiva era una stupidaggine, cioè la scomposizione di polinomi.
Mi rimane un dubbio. Se avessi un'equazione di ennesimo grado (facciamo finta di 5° grado), come faccio a ricavare gli zeri? Non esiste una formula generica per ogni grado che voi sappiate? Perché già con un'equazione di terzo grado le cose si complicano.
Si dimostra, in modo affascinante e affatto semplice, che per le equazioni di grado maggiore o uguale a 5 una formula di risoluzione non esiste.
"WiZaRd":
Si dimostra, in modo affascinante e affatto semplice, che per le equazioni di grado maggiore o uguale a 5 una formula di risoluzione non esiste.
Ch - ch - ché?
Non si possono risolvere? Se fosse veramente così lanciò subito un HURRA'! Da un lato non è una bella cosa non poter risolvere tutte le equazioni che si vogliono... dall'altro... il professore non potrà mai chiedermi di risolvere un'equazione complicata!
"xshell":
[quote="WiZaRd"]Si dimostra, in modo affascinante e affatto semplice, che per le equazioni di grado maggiore o uguale a 5 una formula di risoluzione non esiste.
Ch - ch - ché?
Non si possono risolvere? Se fosse veramente così lanciò subito un HURRA'! Da un lato non è una bella cosa non poter risolvere tutte le equazioni che si vogliono... dall'altro... il professore non potrà mai chiedermi di risolvere un'equazione complicata!
[/quote]Attenzione, non esistono formule risolutive nel caso generale...
Tuttavia alcune equazioni di grado $>=5$ sono risolvibili con pochi passaggini; ad esempio, $x^8+2x^4+1=0$.
no, aspetta
non esiste una formula esplicita, non è che non si possono risolvere...
non esiste una formula esplicita, non è che non si possono risolvere...
"Fox":Ok, esiste sempre il metodo di Ruffini... però non è un metodo (perdonate l'uso del termine) "matematico". Dovrei fare dei tentativi... e con un'equazione di grado 50... dopo tre settimane: risolto!
no, aspetta
non esiste una formula esplicita, non è che non si possono risolvere...
Esistono altri metodi, magari più complessi di Ruffini, ma più "sistematici"?
"WiZaRd":Attento: http://old.demauroparavia.it/2551. "Affatto" rafforza la negazione solo se la negazione c'e'
...in modo affascinante e affatto semplice...
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