Produttoria complicata!!!!

[gius.bruno]

Mi aiutate in questo esercizio:
Calcola il limite tendente ad infinito
$ \prod_{n=1}^\infty n^(1/n) $
Aiutoooo non riesco proprio a raccapezzarmiii!!!!!

[chisigma]

Con i logaritmi e' agevole passare da un 'prodotto infinito' ad una 'somma infinita'. Se e' ...

$P= \prod_{n=1}^{\infty} n^{\frac{1}{n}}$ (1)

... allora e'...

$\ln P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n} {n}$ (2)

... cosi' che il 'prodotto infinito' (1) diverge...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Noisemaker]

[size=85]si trata di calcolare il limite di
\[\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}k^{\frac{1}{k}}\]
detta $$a_n:=\prod_{k=1}^{n}k^{\frac{1}{k}}$$ per le note proprietà degli esponenziali/logaritmi si ha $a_n=e^{\ln a_n}$ e dunque il limite diviene:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^{n}k^{\frac{1}{k}}=\lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}e^{\ln a_n}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[\ln\left(\prod_{k=1}^{n}k^{\frac{1}{k}}\right)\right]
\end{align}
che per le note proprietà dei logaritmi diviene
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\exp\left[\ln\left(\prod_{k=1}^{n}k^{\frac{1}{k}}\right)\right] = \lim_{n\to+\infty}\exp\left[\sum_{k=1}^{n}\ln k^{\frac{1}{k}} \right] =\lim_{n\to+\infty}\exp\left[\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k} \right] =+\infty
\end{align}
in quanto la serie di termine generale $frac{\ln k}{k}$ risulta divergente[/size]

[gius.bruno]

Perché diverge?
$ \sum_{n=1} ln(n)/n $

[chisigma]

... criterio del confronto, termine di confronto $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[gius.bruno]

Grazie mille!!!!!!!!!!!