Prodotto vettoriale in coordina te sferiche.
Salve a tutti.
Tentando di risolvere un problema di elettromagnetismo sono incappato in un problema: Il prodotto vettoriale in coordinate sferiche come è definito?
Le conclusioni a cui sono arrivato (non trovando nulla in giro) è che si faccia allo stesso modo delle coordinate cartesiane effettuando poi un cambiamento di variabile. Qualcuno mi può confermare o smentire? In caso di conferma come diventa la forma matriciale?
Grazie 1000 in anticipo. Spero di non essere stato troppo critico.
Tentando di risolvere un problema di elettromagnetismo sono incappato in un problema: Il prodotto vettoriale in coordinate sferiche come è definito?
Le conclusioni a cui sono arrivato (non trovando nulla in giro) è che si faccia allo stesso modo delle coordinate cartesiane effettuando poi un cambiamento di variabile. Qualcuno mi può confermare o smentire? In caso di conferma come diventa la forma matriciale?
Grazie 1000 in anticipo. Spero di non essere stato troppo critico.
Risposte
Le coordinate sferiche individuano punti dello spazio, non vettori. Forse ti riferisci a vettori espressi come combinazione lineare dei versori coordinati? ($vec{e_r}, vec{e_theta}, vec{e_phi}$, per intenderci...Ma sono indicati anche con nomi diversi, ad esempio con la $u$ in luogo della $e$).
Si, era esattamente quello che intendevo. Adesso io credo di aver trovato la soluzione. Ho applicato la definizione standard che si usa per le coordinate cartesiane e tutto funziona. Il problema è che non mi è molto chiaro il perché.
Il rotore cambia completamente definizione per adattarsi alle coordinate sul quale si calcola. Questo non vale per il prodotto vettoriale? So che sto sparando sfondoni abbastanza gravi, ma abbiate pazienza ;D.
La spiegazione che mi sono dato è che agendo il prodotto vettoriale su un solo punto nello spazio (e non tutti i punti come il rotore) non ha importanza il sistema di rappresentazione e, quindi non c'è bisogno di passare alle nuove coordinate ma si risolve semplicemente con quelle cartesiane. Può esser giusta questa conclusione?
Ancora una volta mi scuso se sono sembrato criptico, ma l'ora è tarda e la materia non troppo semplice. Grazie comunque a tutti!
Il rotore cambia completamente definizione per adattarsi alle coordinate sul quale si calcola. Questo non vale per il prodotto vettoriale? So che sto sparando sfondoni abbastanza gravi, ma abbiate pazienza ;D.
La spiegazione che mi sono dato è che agendo il prodotto vettoriale su un solo punto nello spazio (e non tutti i punti come il rotore) non ha importanza il sistema di rappresentazione e, quindi non c'è bisogno di passare alle nuove coordinate ma si risolve semplicemente con quelle cartesiane. Può esser giusta questa conclusione?
Ancora una volta mi scuso se sono sembrato criptico, ma l'ora è tarda e la materia non troppo semplice. Grazie comunque a tutti!
L'idea è giusta anche se non ti esprimi troppo bene. 
Un conto è il rotore, un altro il prodotto vettoriale. Il primo cambia completamente forma quando lo si esprime in coordinate sferiche perché deve tenere conto della variazione nello spazio della terna di riferimento (i versori coordinati di cui sopra). Qui c'è un intervento di alle.fabbri che entra nel dettaglio di questa impostazione.
In alternativa puoi ricordare la definizione intrinseca (cioè indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate) di rotore che si usa in Fisica: il rotore è una specie di circuitazione infinitesima. Questa definizione non è rigorosa al 100% ma ha il grandissimo vantaggio di essere illuminante. Puoi trovare maggiori dettagli su questo nel capitolo apposito del libretto Div Grad Curl and All of That di H. Schey. Con questa definizione diventa evidente il motivo per cui l'espressione analitica del rotore cambia tanto nel passaggio da coordinate cartesiane a coordinate sferiche.
E lo stesso procedimento di passare dalla definizione intrinseca ti potrà convincere del fatto che il prodotto vettoriale ha sempre la stessa espressione in tutti i sistemi di coordinate, a patto di scegliere terne di versori ortonormali.
Un conto è il rotore, un altro il prodotto vettoriale. Il primo cambia completamente forma quando lo si esprime in coordinate sferiche perché deve tenere conto della variazione nello spazio della terna di riferimento (i versori coordinati di cui sopra). Qui c'è un intervento di alle.fabbri che entra nel dettaglio di questa impostazione.
In alternativa puoi ricordare la definizione intrinseca (cioè indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate) di rotore che si usa in Fisica: il rotore è una specie di circuitazione infinitesima. Questa definizione non è rigorosa al 100% ma ha il grandissimo vantaggio di essere illuminante. Puoi trovare maggiori dettagli su questo nel capitolo apposito del libretto Div Grad Curl and All of That di H. Schey. Con questa definizione diventa evidente il motivo per cui l'espressione analitica del rotore cambia tanto nel passaggio da coordinate cartesiane a coordinate sferiche.
E lo stesso procedimento di passare dalla definizione intrinseca ti potrà convincere del fatto che il prodotto vettoriale ha sempre la stessa espressione in tutti i sistemi di coordinate, a patto di scegliere terne di versori ortonormali.
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