Prodotto vettoriale:

[Roslyn]

Come si fa il prodotto vettoriale tra $(0,1,0)$ e $(cosv,-1,-sinv)$ ?

[garnak.olegovitc1]

@Roslyn,

"Roslyn":Come si fa il prodotto vettoriale tra $(0,1,0)$ e $(cosv,-1,-sinv)$ ?

seguendo la teoria, se hai \( \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \) e \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\) allora: $$\vec{a}\times\vec{b}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}\,$$
Saluti

[21zuclo]

quel calcolo viene fuori da questo determinante..

se hai 2 vettori $ \ul(v_1)=((a_1),(b_1),(c_1)), \ul(v_2)=((a_2),(b_2),(c_2)) $

allora il loro prodotto vettoriale è

$ det ( ( i , j , k ),( a_1 , b_1 , c_1 ),( a_2 , b_2 , c_2 ) )=i| ( b_1 , c_1 ),( b_2 , c_2 ) |-j| ( a_1 , c_1 ),( a_2 , c_2 ) | +k| ( a_1 , b_1 ),( a_2 , c_2 ) | $

ove $ i,j,k \in RR^n $ versori base canonica

notazione (matematici) di versori base canonica (es di $RR^3$)

$ \ul(e_1)=((1),(0),(0)), \ul(e_2)=((0),(1),(0)), \ul(e_3)=((0),(0),(1)) $

mentre la notazione (in fisica) sostituisci $\ul(e_1)=i, \ul(e_2)=j, \ul(e_3)=k$

tutto qui..spero che ti sia chiaro..

[Epimenide93]

"21zuclo":
$ det ( ( i , j , k ),( a_1 , b_1 , c_1 ),( a_2 , b_2 , c_2 ) )$

Questa formula è un ottimo ausilio mnemonico, ma occorre precisare che, scritta così, non ha alcun senso

[21zuclo]

"Epimenide93":

Questa formula è un ottimo ausilio mnemonico, ma occorre precisare che, scritta così, non ha alcun senso

in che senso non ha alcun senso?..

[garnak.olegovitc1]

@21zuclo,
http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#cite_note-6
Cosa è un determinante?
Ciao

[Epimenide93]

Indipendentemente da come la interpreti quella non è una matrice quadrata a coefficienti in un campo, ed il determinante si definisce solo per questo tipo di matrici.

[Plepp]

"Epimenide93":Indipendentemente da come la interpreti quella non è una matrice quadrata a coefficienti in un campo, ed il determinante si definisce solo per questo tipo di matrici.

Beh no...anche un generico anello basta e avanza. (Fermo restando che quel determinante formale è semplicemente una scorciatoia grafica).

[Epimenide93]

[ot]

"Plepp":Beh no...anche un generico anello basta e avanza. (Fermo restando che quel determinante formale è semplicemente una scorciatoia grafica).

Sai che mentre scrivevo mi è venuto il dubbio? Poi ho cercato sul Roman ed ho trovato la definizione solo per spazi vettoriali e nel dubbio ho preferito andare sul sicuro grazie per la precisazione![/ot]

[garnak.olegovitc1]

[ot]io alla regoletta grafica, mnemonica o qualunque cosa sia, preferisco la regola xyzzy:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Mnemonic[/ot]

[killing_buddha]

Tutto ha senso se gliene si da uno sufficientemente altisonante: ad esempio esiste un gruppo(ide) la cui cardinalita' e' il numero di Nepero.

Nella contingenza particolare, comunque, la formula che definisce il prodotto cross di $n-1$ vettori in \(\mathbb{E}^n(k)\) (lo spazio euclideo di dimensione $n$ su $k$) si puo' interpretare in maniera rigorosa nell'algebra tensoriale su $k^n$ (o in un suo quoziente opportuno, l'algebra esterna \(\land^p(k^n)\)). Provateci: scelta una base \(\{v_1,\dots, v_n\}\) l'algebra esterna ne eredita una naturalmente, e le coordinate di un vettore \(v_1\land\dots\land v_p\) si scrivono, in termini delle coordinate di $v_i$ rispetto alla base di partezna, come...)

[Epimenide93]

"killing_buddha":Nella contingenza particolare, comunque, la formula che definisce il prodotto cross di $n-1$ vettori in \(\mathbb{E}^n(k)\) (lo spazio euclideo di dimensione $n$ su $k$) si puo' interpretare in maniera rigorosa nell'algebra tensoriale su $k^n$ (o in un suo quoziente opportuno, l'algebra esterna \(\land^p(k^n)\)). Provateci: scelta una base \(\{v_1,\dots, v_n\}\) l'algebra esterna ne eredita una naturalmente, e le coordinate di un vettore \(v_1\land\dots\land v_p\) si scrivono, in termini delle coordinate di $v_i$ rispetto alla base di partezna, come...)

Quando parli del vettore \(v_1\land\dots\land v_p\) i vettori che vi compaiono sono vettori generici, giusto? Se ho capito bene, allora fissata una base \(\{v_1,\dots, v_n\}\), dal momento che resta canonicamente determinata la base di \(\land^p(k^n)\), di cardinalità \(\binom{n}{p}\) che indico con \(\mathfrak{B}\) ed i cui elementi indico con \(\mathfrak{b}\) (perché il gotico fa figo), dati \(w_i = \sum_j x_j^i v_j\) si ha \[w_1\land\dots\land w_p = \sum_{\mathfrak{b} \in \mathfrak{B}} {\rm Det}^*_{\mathfrak{b}}(x_j^i)\mathfrak{b}\]
Dove con \({\rm Det}^*_{\mathfrak{b}}\) indico il determinante della matrice ottenuta orlando[nota]furioso[/nota] la matrice \((x_j^i)\) per isolare righe/colonne corrispondenti agli elementi della base che generano \(\mathfrak{b}\).

Così risulta (non ho il tempo di scrivere tutto per bene, ma è facile) che in \(\mathbb{E}^3(\mathbb{R})\) il prodotto alternante di due elementi ha come algebra esterna uno spazio vettoriale isomorfo a \(\mathbb{E}^3(\mathbb{R})\) i cui elementi \(v\land w\) hanno per coordinate (rispetto alla base canonica su \(\mathbb{E}^3(\mathbb{R})\) ed alla base indotta sull'algebra esterna) né più né meno che il prodotto scalare dei due vettori \(v\) e \(w\). Sperando di non aver sbagliato nulla.

Figo, non mi ero mai preso la briga di cercare di dare un senso al prodotto vettoriale, grazie per lo spunto.

Ma ora mi devi spiegare come \(\land^p(k^n)\) è un quoziente dell'algebra tensoriale su \(k^n\) (dai, non ti faccio perder tempo, mi accontento anche di un riferimento bibliografico )

[killing_buddha]

\(\land^p(k^n)\) si ottiene come anello (in effetti, come $k$-algebra) quoziente da $T(k)$ in molti modi. Quello che preferisco e' questo. Considera l'ideale $I$ generato dall'insieme \( \{ v_1\otimes v_2\otimes\dots \otimes v_r\mid r\in\mathbb{N},\; \exists 1\le i,j\le r\; :\; v_i = v_j \} \). Questo e' un ideale graduato dell'anello graduato $T(k)$, e il quoziente risulta essere l'algebra esterna su $k^n$, le cui componenti graduate sono le varie \(\land^p(k^n)\), al variare di $0\le p\le n$, ognuna di dimensione \(\binom{n}{p}\).

Con una entita' di fatica media si puo' poi dedurre la proprieta' universale dell'algebra esterna su $k^n$: la puoi prendere da qui.

[Epimenide93]

Grazie!