Prodotto tra versori: la relazione di Poisson.

[rettile56]

'sera a tutti, ho una difficoltà con la dimostrazione della relazione di Poisson.
Mi è tutto abbastanza chiaro, tranne un dettaglio.

Fondamentalmente quello che bisogna fare è dimostrare che
$ (dvec(k))/ (dt) = (dvec(k'))/ (dt)+ (omega ^^ vec(k')) $

e dopo un po' di passaggi si arriva ad avere in mano tre equazioni del tipo (ne scrivo solo una ovviamente):
$ dhat(u)_( x ) /dt = ( dhat(u)_( x )/dt*hat(u)_( x ))hat(u)_( x )+( dhat(u)_( x )/dt*hat(u)_( y ))hat(u)_( y )+( dhat(u)_( x )/dt*hat(u)_( z ))hat(u)_( z ) $

con ux uy e uz VERSORI.

in ogni equazione il termine ux*ux o uy*uy o uz*uz si annulla. Restano quindi in tutto tra parentesi 6 termini (2 per ciascuna delle tre) che devo dimostrare essere non indipendenti ma uguali a due a due.
E qui c'è il passaggio che non capisco:

per dimostrarlo prende

$ hat(u)_( x ) *hat(u)_( y ) = 0 $ come se fosse la cosa più ovvia del mondo.
Qualcuno sa spiegarmi perchè il prodotto di due versori dovrebbe essere uguale a 0.


Edit:
scusate ho sbagliato. questa non è Analisi. Non so perchè sia finito qui.

[Brancaleone1]

Ciao.
Spero ti sia d'aiuto questa dimostrazione.

Sia $mathbf(w)$ una funzione vettoriale del tempo: allora

$\mathbf{w}=w_k \mathbf{e}_k$

e

$\mathbf{w}=\hat{w}_j \mathbf{e}_j $

sono rappresentazioni di $mathbf(w)$ sulle basi $mathbb(F)$ e $\hat(mathbb(F))$.
Le derivate valgono rispettivamente

$Dmathbf(w)=dot(w)_k mathbf(e)_k$

e

$hat(D)mathbf(w)=dot(hat(w))_j mathbf(hat(e))_j$

Sia

$R_(jk)=mathbf(hat(e))_j cdot mathbf(e)_k=mathbf(e)_k cdot mathbf(hat(e))_j$

matrice di rotazione: allora è possibile ottenere una relazione tra $mathbb(F)$ e $\hat(mathbb(F))$:

\[w_k=\mathbf{w} \cdot \mathbf{e}_k=\mathbf{w} \cdot R_{jk} \mathbf{\hat{e}}_j=R_{jk}\mathbf{w} \cdot \mathbf{\hat{e}}_j=R_{jk}\hat{w}_j\]

da cui

\[ \dot{w}_k=\dot{R}_{jk} \hat{w}_j+R_{jk}\dot{\hat{w}}_j \]

E' così possibile riscrivere la derivata del vettore come

$D mathbf(w)=dot(R)_(jk)hat(w)_jmathbf(e)_k+R_(jk)dot(hat(w))_j mathbf(e)_k= dot(R)_(jk)hat(w)_jmathbf(e)_k+dot(hat(w))_j(R_(jk)mathbf(e)_k)=dot(R)_(jk)hat(w)_jmathbf(e)_k+dot(hat(w))_j hat(mathbf(e))_k=hat(D)mathbf(w)+R_(hk)dot(R)_(jk)hat(w)_j hat(mathbf(e))_k=...$

Ricordando che
\[RR^T=\mathbf{I}\] matrice identica, per cui

$dot(R)R^T+Rdot(R)^T=0$

definiamo la matrice antisimmetrica $hat(Omega)=Rdot(R)^T=epsilon_(jhl)hat(omega)_l$

con $epsilon_(jhl)$ simbolo di Levi-Civita, che ci consente di continuare la relazione:

$...=D mathbf(w)=hat(D)mathbf(w)+R_(hk)dot(R^T)_(kj) hat(w)_j hat(mathbf(e))_k=hat(D)mathbf(w)+(Rdot(R^T))_(hj) hat(w)_j hat(mathbf(e))_h=hat(D)mathbf(w)+hat(Omega)_(hj)hat(w)_j hat(mathbf(e))_h=hat(D)mathbf(w)+epsilon_(jhl)hat(omega)_l hat(w)_j hat(mathbf(e))_h=$
$=hat(D)mathbf(w)+epsilon_(ljh)hat(omega)_l hat(w)_j hat(mathbf(e))_h=hat(D)mathbf(w)+mathbf(omega) xx mathbf(w) square$