Prodotto tra numeri complessi

[Matnice]

Ciao, non riesco a capire come si fa il prodotto di due numeri complessi, visti come coppia di numeri: $(a,b)(c,d)= (ac - bd, bc + ad)$

[axpgn]

In che senso?

Quella è la definizione che è compatibile (ovviamente ... ) con la forma algebrica.
Dati due numeri complessi $(a,b)$ e $(c,d)$ e la loro forma algebrica $a+ib$ e $c+id$ se li moltiplichiamo fra loro, abbiamo che $(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i^2bd=ac-bd+i(ad+bc)$ che equivale a $(ac-bd,ad+bc)$.

Cordialmente, Alex

[Zero87]

"matnice":Ciao, non riesco a capire come si fa il prodotto di due numeri complessi, visti come coppia di numeri: $(a,b)(c,d)= (ac - bd, bc + ad)$

Al corso di analisi complessa (me) l'hanno data come definizione. Nel senso $C$ è un campo in cui ... bla bla bla ... e su di esso sono definite:
- addizione
- ...
- prodotto, in quel modo lì.

E mi sono fidato. Se non erro è l'Ahlfors che usa questo approccio prima di parlare della forma algebrica.

[Matnice]

Quindi devo impararla così, senza capire da dove nasce? Ho seguito male la lezione di analisi sui numeri complessi, per questo non ho capito bene. Devo ancora studiare l'unità $i$, etc; tutte cose che il mio prof ha spiegato in una lezione...

[Zero87]

"matnice":Quindi devo impararla così, senza capire da dove nasce?

Io ho fatto così anche se è stato un peccato. Avevo mille corsi in contemporanea e mancava la voglia per indagare: se qualcuno lo spiega o cita il perché è così... sarà un occasione per imparare qualcosa anche per il sottoscritto.

[axpgn]

Non nasce da nessuna parte ... è una definizione non un teorema, non deve essere dimostrata.
E' una "regola del gioco".
Le definizioni sono come sono perché servono per "giocare", se sono "fatte bene" il gioco viene "bene"; tu puoi benissimo inventarti le definizioni come più ti aggradano (compreso il prodotto tra complessi) ma se poi ci "giochi" solo tu, forse non ne vale la pena ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@Zero87
Il prodotto costruito in questo modo permette che i complessi siano come sono, dove valgono le note proprietà (un campo) e i reali siano un sottocampo, siano compatibili con la forma algebrica e permettano la nota relazione $i^2=-1$ e così via ... insomma è utile .
Se poi qualcuno (magari tu ) "crei" qualcosa di diverso ma altrettanto utile, se non più, ben venga ...

Cordialmente, Alex

[Matnice]

"axpgn":Non nasce da nessuna parte ... è una definizione non un teorema, non deve essere dimostrata.
E' una "regola del gioco".
Le definizioni sono come sono perché servono per "giocare", se sono "fatte bene" il gioco viene "bene"; tu puoi benissimo inventarti le definizioni come più ti aggradano (compreso il prodotto tra complessi) ma se poi ci "giochi" solo tu, forse non ne vale la pena ...

Cordialmente, Alex

Quindi è solo merito di un matematico che facendo dei calcoli ha tirato fuori una definizione? Non è una cosa intuitiva?

[axpgn]

Non ho la minima idea di chi abbia "inventato" i numeri complessi però normalmente sono frutto di anni di lavoro, ricerca e anche, ovviamente, intuizioni felici (e grandi menti).
Tante cose sono intuitive ma finché non le dimostri ... (mai sentito parlare della congettura di Goldbach?)
La matematica ha una storia lunga ma in generale "le lampadine che si accendono" alla Archimede Pitagorico non sono la normalità ...

[CaMpIoN]

"axpgn":Non nasce da nessuna parte ... è una definizione non un teorema, non deve essere dimostrata.
E' una "regola del gioco".
Le definizioni sono come sono perché servono per "giocare", se sono "fatte bene" il gioco viene "bene"; tu puoi benissimo inventarti le definizioni come più ti aggradano (compreso il prodotto tra complessi) ma se poi ci "giochi" solo tu, forse non ne vale la pena ...

Cordialmente, Alex

Tu dici che le definizioni non devono essere dimostrate, ma accettarle così come sono. Io invece sono abituato ad accettare come definizione ad esempio la seguente:
Definizione: "Un numero complesso è formato da una parte reale e da una parte immaginaria".
Questa è una definizione che non ha bisogno di dimostrazione, ma quella del prodotto tra due numeri complessi (che io chiamerei teorema invece) credo che si possa avere tutto il diritto di non accettarla se non con una dimostrazione. Anzi credo che chi non segue questa strada allora significa che studia una cosa solo per convenienza, non perché gli piace ciò che sta studiando.
Almeno è ciò che penso io, poi non sò.

[axpgn]

Una definizione, per definizione, non va dimostrata
E' una regola.
E' il nome che si da ad un "oggetto" matematico che possiede determinate caratteristiche.
Quando hai a che fare con una definizione il difficile consiste nel capire se un "oggetto" matematico possiede o meno le caratteristiche che gli permettono di "rientrare" in tale definizione.
Probabilmente esisteranno molti modi con cui definire i numeri complessi, quello che io conosco (e che mi pare comunemente accettato) li definisce come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali per le qual siano definite due operazioni, chiamate somma e prodotto, in questo modo.
Data le coppie ordinate di numeri reali $(a,b)$ e $(c,d)$ si dice somma di tali numeri la coppia ordinata di numeri reali ottenuta in questo modo $(a+c,b+d)$ e si chiama prodotto la coppia ordinata di numeri reali ottenuta così $(ac-bd,ad+bc)$.
E non c'è niente da dimostrare ... si prende la regola e si utilizza ...

Se invece ti interessa conoscere in che modo si è arrivati a QUESTA definizione allora è un altro paio di maniche; ti consiglio di fare una bella ricerca tra web e biblioteche ...

Penso che in occasioni come queste ci vorrebbe Epimenide ...

Cordialmente, Alex

[CaMpIoN]

Il fatto è che per arrivare alla definizione dovresti fare una dimostrazione, cosa che contraddice il fatto che una definizione non va dimostrata. E' questo che mi fa pensare che una definizione pura sia quella che ho dato io sui numeri complessi. Ovviamente non metto in dubbio le regole della matematica, è solo una mia interpretazione della cosa, cioè non accetto semplicemente quella definizione, ma piuttosto cerco una sua dimostrazione, questo perché se non avesse una dimostrazione allora sarebbe qualcosa di molto simile ad un assioma, tipo come per gli assiomi della teoria della probabilità. A questo punto allora se non ci fosse una dimostrazione di quelle regole direi che sono assiomi della teoria dei numeri complessi, insomma ci sono molte cose da dire.

[axpgn]

"CaMpIoN":Il fatto è che per arrivare alla definizione dovresti fare una dimostrazione, ...

Ma perché ?

"CaMpIoN":... che una definizione pura sia quella che ho dato io sui numeri complessi. ...

Cosa sarebbe una definizione "pura" ?

Per amor di discussione, riporto una definizione di "DEFINIZIONE", tratta da un libro di R.A.Beezer, "A First Course in Linear Algebra":
"... Una definizione è un termine "inventato", utilizzato come una sorta di "scorciatoia" per idee tipicamente più complicate. Per esempio, diciamo che un numero intero è pari come "abbreviazione" invece di dire che quando lo dividiamo per $2$ otteniamo un resto pari a zero.
Con una definizione precisa siamo in grado di rispondere ad alcune domande senza ambiguità. Per esempio, vi siete mai chiesti se zero è un numero pari? Ora la risposta dovrebbe essere chiara dal momento che abbiamo una precisa definizione di che cosa si intende con il termine "pari".
Un unico termine potrebbe avere diverse possibili definizioni. Ad esempio, si potrebbe dire che il numero intero $n$ è pari se esiste un altro numero intero $k$ tale che sia $n=2k$. Diciamo che questa è una definizione equivalente dato che "categorizza" i numeri pari allo stesso modo della nostra prima definizione.
...
Chiunque (voi compresi) può costruire una definizione, fintanto che sia inequivocabile, ma la vera prova dell'utilità di una definizione consiste nel fatto se sia più o meno utile nel descrivere concisamente situazioni interessanti o frequenti.
...
Parleremo di teoremi più tardi (...): per ora, siate sicuri di non confondere la nozione di "definizione" con quella di "teorema".
...
Puoi formulare una precisa definizione su che cosa significa per un numero essere "dispari" ? (Non dire che è "l'opposto" dell'essere pari. Agisci come se ancora non sapessi il significato di numero pari). Puoi formulare una seconda definizione che sia equivalente? Riesci a utilizzare la tua definizione per provare se un numero è pari o dispari? ..."

Cordialmente, Alex