Prodotto scalare matriciale

[SaturnV]

Ciao a tutti, ho tra le mani una dimostrazione che non riesco a concludere per un "particolare".

Sia $A = (A_(ij))$ una matrice infinita tale che:

a) è simmetrica

b) esiste $M>0$ tale che $0
c) per ogni $i$ si ha $\sum_{j!=i} |A_(ij)|
bisogna dimostrare che l'espressione

$ = \sum_{i,j=1}^oo A_(ij) * x_i * y_j$

è un prodotto scalare in $l^2$.

L'unico punto che non riesco a dimostrare è il fatto che $$ è maggiore di zero qualunque sia $x$ diverso dalla successione identicamente nulla...
Ho provato a maggiorare il tutto sfruttando le tre proprietà, ma non riesco a ricavarne nulla.
Voi avete qualche idea?

Fabio

[ViciousGoblin]

$\sum_{ij}A_{ij}x_ix_j=\sum_{i}A_{ii}x_i^2+\sum_{i\ne j}A_{ij}x_ix_j=\sum_{i}A_{ii}x_i^2+2\sum_{i> j}A_{ij}x_ix_j$
ma
$2|\sum_{i> j}A_{ij}x_ix_j|\leq \sum_{i> j}|A_{ij}|(x_i^2+x_j^2)=\sum_{i> j}|A_{ij}|x_i^2+ \sum_{i> j}|A_{ij}|x_j^2=\sum_{i> j}|A_{ij}|x_i^2+ \sum_{i< j}|A_{ji}|x_i^2=\sum_{i\ne j}|A_{ij}|x_i^2< \sum_{i}A_{ii}x_i^2$

Vedi se torna.