Prodotto scalare
Salve,
Ho una funzione $ h(x)=x-f(x) $ con $ f(x):B^n rarr B^n $ e $x in S^(n-1) $.
Perchè
$ x \cdot h(x)=1-x \cdot f(x) $ è $ >0 $?
Se poi ho anche $ x \cdot h(x)<0 $ cosa mi porta questa contraddizione?
Ho una funzione $ h(x)=x-f(x) $ con $ f(x):B^n rarr B^n $ e $x in S^(n-1) $.
Perchè
$ x \cdot h(x)=1-x \cdot f(x) $ è $ >0 $?
Se poi ho anche $ x \cdot h(x)<0 $ cosa mi porta questa contraddizione?
Risposte
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ti dice che \( x \cdot y \leq \|x\| \cdot \|y\|\), e che l'uguaglianza vale se e solo se \(x\) e \(y\) sono uno multiplo non-negativo dell'altro.
In particolare, se \(x,y \in B^n\), allora \(x\cdot y\leq \|x\| \cdot \|y\|\leq 1\); inoltre, per poter avere l'uguaglianza \(x\cdot y = 1\) devi avere contemporaneamente \(\|x\| = \|y\| = 1\) e \(y = \lambda x\) con \(\lambda\geq 0\). Vedi bene che questo può succedere se e solo se \(x = y\).
In particolare, se \(x,y \in B^n\), allora \(x\cdot y\leq \|x\| \cdot \|y\|\leq 1\); inoltre, per poter avere l'uguaglianza \(x\cdot y = 1\) devi avere contemporaneamente \(\|x\| = \|y\| = 1\) e \(y = \lambda x\) con \(\lambda\geq 0\). Vedi bene che questo può succedere se e solo se \(x = y\).
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