PRODOTTO NELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
Per favore sapete dirmi il prodotto tra due trasformate di Laplace. Ad esempio:
$Lu cos^2 t * sen t$?
Cioè:
$Lu cos t * cos t * sen t$ = $Lu 1/2 sen 2t * cos t$
E poi come si dovrebbe continuare?
$Lu cos^2 t * sen t$?
Cioè:
$Lu cos t * cos t * sen t$ = $Lu 1/2 sen 2t * cos t$
E poi come si dovrebbe continuare?
Risposte
$Lu1/2sen2tcost=Lu1/4(sen3t+sent)=1/4(3/(s^2+9))+1/4(1/(s^2+1))$
Grazie mille, ma non ho ben capito come sei arrivato a qesto passaggio: $Lu1/4(sen3t+sent)$
Ma in generale è possibile fare il prodotto in una trasformata di Laplace unilatera o ci si deve ricondurre a forme simili ove compaiono le somme come in questo caso?
Grazie
Ma in generale è possibile fare il prodotto in una trasformata di Laplace unilatera o ci si deve ricondurre a forme simili ove compaiono le somme come in questo caso?
Grazie
Quel passaggio l'ho fatto cercando nel mio libro di trigonometria del liceo le formule di prostaferesi (o di Werner...):
$sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]
Comunque in generale se hai il prodotto di due esponenziali (anche seno e coseno lo sono), riesci tranquillamente a ricondurti ad una somma di esponenziali.
Per il prodotto di due funzioni generiche, che io sappia, non c'è una formula generale (come accade invece per la trasformata di Fourier).
Ma non hai problemi se una di queste è un polinomio o un esponenziale, usando le formule:
$Lu{t^nf(t)}=(-1)^nd^n/(ds^n)F(s)$
$Lu{e^(at)f(t)}=F(s-a)$
$sinAcosB=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]
Comunque in generale se hai il prodotto di due esponenziali (anche seno e coseno lo sono), riesci tranquillamente a ricondurti ad una somma di esponenziali.
Per il prodotto di due funzioni generiche, che io sappia, non c'è una formula generale (come accade invece per la trasformata di Fourier).
Ma non hai problemi se una di queste è un polinomio o un esponenziale, usando le formule:
$Lu{t^nf(t)}=(-1)^nd^n/(ds^n)F(s)$
$Lu{e^(at)f(t)}=F(s-a)$
"Luke1984":
Ma non hai problemi se una di queste è un polinomio o un esponenziale, usando le formule:
$Lu{t^nf(t)}=(-1)^nd^n/(ds^n)F(s)$
$Lu{e^(at)f(t)}=F(s-a)$
Non ho capito queste formule in quale caso le vuoi usare. Mi faresti un esempio?
Ad esempio, se vogliamo calcolare $Lu{t^2e^(-3t)sint}$
Sai che:
$Lu{sint}=1/(s^2+1)$
Applicando la seconda formula:
$Lu{e^(-3t)sint}=1/((s+3)^2+1)$
E ora la prima:
$Lu{t^2e^(-3t)sint}=(-1)^2d^2/(ds)^2(1/((s+3)^2+1))$
Eccetera...
Sai che:
$Lu{sint}=1/(s^2+1)$
Applicando la seconda formula:
$Lu{e^(-3t)sint}=1/((s+3)^2+1)$
E ora la prima:
$Lu{t^2e^(-3t)sint}=(-1)^2d^2/(ds)^2(1/((s+3)^2+1))$
Eccetera...
se considero questa trasformata...
....allora questo è il risultato?
"Luke1984":
Ad esempio, se vogliamo calcolare $Lu{t^2e^(-3t)sint}$
....allora questo è il risultato?
"Luke1984":
$Lu{t^2e^(-3t)sint}=(-1)^2d^2/(ds)^2(1/((s+3)^2+1))$
"Bandit":
....allora questo è il risultato?
Non avevo voglia di svolgere i calcoli delle derivate, comunque si
ok grazie, me la vedo io
1)Se ti dico trasformata di laplace di $(t P'_2(2t))?
come la si risolve?
dove $P_T (t) $ = vale 1 per t appartenente a $ ]-T/2;T/2[ $
vale 0 per t appartenente a $R-[-T/2 ; T/2 ] $
2)
Trasformata di Fourier $(u(t)sint)= (1/(jw) + pidelta(w)) $ convoluzione $ 1/(2j) (delta (t-1)-delta (t+1))$ tutto moltiplicato per 1/(2pi).
dove
$u(t) $ è il gradino unitatio che vale $1$ per $t>0$, e vale $0$ per$ t<0$
I calcoli in questo caso sono fatti bene. Ma la convoluzione comeviene?
come la si risolve?
dove $P_T (t) $ = vale 1 per t appartenente a $ ]-T/2;T/2[ $
vale 0 per t appartenente a $R-[-T/2 ; T/2 ] $
2)
Trasformata di Fourier $(u(t)sint)= (1/(jw) + pidelta(w)) $ convoluzione $ 1/(2j) (delta (t-1)-delta (t+1))$ tutto moltiplicato per 1/(2pi).
dove
$u(t) $ è il gradino unitatio che vale $1$ per $t>0$, e vale $0$ per$ t<0$
I calcoli in questo caso sono fatti bene. Ma la convoluzione comeviene?
per l'1) mi ricorderei che una moltiplicazione per t nel tempo equivale ad una derivata rispetto a s in frequenza...
e quindi??????
PT(t)=1-rect(t/T)
PT(2t)=1-rect(t/(T/2))
L[PT(2t)]=(1/s)*(1-exp(-sT/4))
Siccome L(t*f(t))=-F'(s)
L[t*PT(2t)]=[1-(1+sT/4)*exp(-sT/4)]/(s^2)
PT(2t)=1-rect(t/(T/2))
L[PT(2t)]=(1/s)*(1-exp(-sT/4))
Siccome L(t*f(t))=-F'(s)
L[t*PT(2t)]=[1-(1+sT/4)*exp(-sT/4)]/(s^2)
scusa ho sbagliato la trasformata...
L[PT(2t)]=(1/s)*exp(-sT/4)
quindi
L[t*PT(2t)]=[1+sT/4]*exp(-sT/4)/(s^2)
L[PT(2t)]=(1/s)*exp(-sT/4)
quindi
L[t*PT(2t)]=[1+sT/4]*exp(-sT/4)/(s^2)
tnx goblyn....ok
Per la 2)
basta che ti ricordi che una funzione convoluita con un delta dà la funzione stessa traslata sul punto di applicazione del delta
$x(t)$ convo $delta(t-t_0) = x(t-t_0)$
basta che ti ricordi che una funzione convoluita con un delta dà la funzione stessa traslata sul punto di applicazione del delta
$x(t)$ convo $delta(t-t_0) = x(t-t_0)$
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