Prodotto di una successione limitata per una infinitesima

[gwen1]

Salve, vorrei sapere, perché per il prodotto di una successione limitata per un'infinitesima è necessaria una dimostrazione propria e non è possibile usare i teoremi noti sul limite del prodotto di due successioni? Spero non sia una domanda sciocca. Grazie in anticipo.

[Noisemaker]

Be è un fatto che discende direttamente dal criterio del confronto; supponiamo che $b_n$ sia limitata e $a_n\to0;$ allora
\[|b_n|\le L,\qquad L>0;\]
per ogni $n$
\[|a_nb_n|\le L|a_n|;\]
poichè $|a_n|\to0$ anche $L|a_n|\to0$ pertanto $a_nb_n\to0$[nota]Naturalmente, in generale, se $|b_n|\le a_n$ e $a_n\to0,$ definitivamente si ha
\[-a_n\le b_n\le a_n;\]
pertanto se $a_n\to0$ anche $-\a_n\to0$ quindi per confronto anche $b_n\to0.$[/nota]