Prodotto di spazi riflessivi è riflessivo
Ciao, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Siano $(E,||\cdot||_E)$ e $(F,||\cdot||_F)$ due spazi di Banach riflessivi. Provare che lo spazio prodotto $(E\times F,||\cdot||_{E\times F})$ è riflessivo (possiamo assumere che $||\cdot||_{E\times F}=||\cdot||_E+||\cdot||_F$).
Il problema non sta nel provare che lo spazio prodotto sia di Banach, ma non saprei proprio come fare per provare che lo spazio prodotto è riflessivo. Qualcuno mi potrebbe dare una mano?
Siano $(E,||\cdot||_E)$ e $(F,||\cdot||_F)$ due spazi di Banach riflessivi. Provare che lo spazio prodotto $(E\times F,||\cdot||_{E\times F})$ è riflessivo (possiamo assumere che $||\cdot||_{E\times F}=||\cdot||_E+||\cdot||_F$).
Il problema non sta nel provare che lo spazio prodotto sia di Banach, ma non saprei proprio come fare per provare che lo spazio prodotto è riflessivo. Qualcuno mi potrebbe dare una mano?
Risposte
Così, su due piedi, direi che basta vedere come si comporta la mappa di valutazione di $E\times F$ rispetto alla norma indotta: se risulta anche essa un isomorfismo isometrico tra $E\times F$ e $(E\timesF)''$ hai concluso.
Grazie della risposta! Puoi spiegarti meglio però? Non capisco bene cosa intendi...
Ah ok, con mappa di valutazione tu intendi proprio quella della definizione di spazio riflessivo, giusto? Ho provato, ma non riesco a uscirne.
Dunque, vediamo, spero di non scrivere baggianate perché l'ora è tarda. Diciamo che le mappe di valutazione sono, rispettivamente, $J_E:E\rightarrow E'',\ J_F:F\rightarrow F''$ e sappiamo che, essendo i due spazi riflessivi, si deve avere che $||J_X(x)||_{X''}=||x||_X$ dove $X=E,\ F$ e $x\in X$, ed inoltre $J_X$ deve essere un isomorfismo isometrico (che è la condizione scritta, in pratica). Ora, consideriamo $J:E\times F\rightarrow (E\times F)''$. Io direi che essa è definita (bene) così: $J(x,y)=(J_E(x),J_F(y))$ e pertanto
$$||J(x,y)||_{(E\times F)''}=||(J_E(x),J_F(y))||_{(E\times F)''}=||J_E(x)||_{E''}+||J_F(x)||_{F''}=||x||_E+||y||_F=||(x,y)||_{E\times F}$$
Ripeto, mi sembra che sia così ma non vorrei aver scritto delle cavolate.
$$||J(x,y)||_{(E\times F)''}=||(J_E(x),J_F(y))||_{(E\times F)''}=||J_E(x)||_{E''}+||J_F(x)||_{F''}=||x||_E+||y||_F=||(x,y)||_{E\times F}$$
Ripeto, mi sembra che sia così ma non vorrei aver scritto delle cavolate.
Sì, sembrerebbe funzionare! Di fatto perchè $(E\times F)''$ è isometricamente isomorfo a $E''\times F''$, e poi $J$ è suriettiva perchè lo sono $J_E$ e $J_F$, quindi dovrebbe essere tutto a posto! 
Grazie mille, io mi ero persa in un bicchiere d'acqua.
Grazie mille, io mi ero persa in un bicchiere d'acqua.
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