Prodotto di due numeri complessi !!
Buonasera amici,
Il testo mi chiede di scrivere in forma trigonometrica il seguente numero:
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2(1+i)^3 \) il risultato del seguente prodotto è \(\displaystyle [8\sqrt{2}, -\tfrac{11\pi}{12}] \)
Io per risolvere il prodotto uso le seguenti formule
1) \(\displaystyle z^n=\rho^n(cos(n\theta)+isen(n\theta) \)
2) \(\displaystyle zz'=\rho\rho'(cos(\theta+\theta)+isen(\theta+\theta) \)
Applico 1) ai singoli fattori
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2=4(cos(\tfrac{\pi}{6})+isen(\tfrac{\pi}{6})) \)
\(\displaystyle (1+i)^3=2\sqrt{2}(cos(\tfrac{3\pi}{4})+isen(\tfrac{3\pi}{4})) \)
Applico la 2)
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2(1+i)^3=8\sqrt{2}(cos(\tfrac{11\pi}{2})+isen(\tfrac{11\pi}{11})) \)
Ora il coseno dell'angolo \(\displaystyle \tfrac{11\pi}{2} \) è negativo, ma il seno no.
Quindi il mio problema è il segno
Grazie
Il testo mi chiede di scrivere in forma trigonometrica il seguente numero:
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2(1+i)^3 \) il risultato del seguente prodotto è \(\displaystyle [8\sqrt{2}, -\tfrac{11\pi}{12}] \)
Io per risolvere il prodotto uso le seguenti formule
1) \(\displaystyle z^n=\rho^n(cos(n\theta)+isen(n\theta) \)
2) \(\displaystyle zz'=\rho\rho'(cos(\theta+\theta)+isen(\theta+\theta) \)
Applico 1) ai singoli fattori
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2=4(cos(\tfrac{\pi}{6})+isen(\tfrac{\pi}{6})) \)
\(\displaystyle (1+i)^3=2\sqrt{2}(cos(\tfrac{3\pi}{4})+isen(\tfrac{3\pi}{4})) \)
Applico la 2)
\(\displaystyle (\sqrt{3}+i)^2(1+i)^3=8\sqrt{2}(cos(\tfrac{11\pi}{2})+isen(\tfrac{11\pi}{11})) \)
Ora il coseno dell'angolo \(\displaystyle \tfrac{11\pi}{2} \) è negativo, ma il seno no.
Quindi il mio problema è il segno
Grazie
Risposte
Banale distrazione: nel fare il quadrato del primo fattore hai dimenticato di raddoppiare l'angolo.
Ciao
Ciao
Ciao galles90,
Occhio che in ciò che hai scritto vi sono parecchi errori, oltre a quello che ti ha già segnalato orsoulx...
No: $[8sqrt{2},−frac{11\pi}{12}]$, ove si intende che $\rho = 8sqrt{2}$ e $\theta = −frac{11\pi}{12}$.
Qui gli angoli sono tutti errati.
Per evitare il più possibile questi errori, passerei prima per la più semplice forma esponenziale, per poi giungere alla fine alla forma trigonometrica.
$\sqrt{3}+i = 2e^{i \pi/6} \implies (\sqrt{3}+i)^2 = 4 e^{i \pi/3} $
$1 + i = sqrt{2}e^{i \pi/4} \implies (1 + i)^3 = 2 sqrt{2}e^{i frac{3\pi}{4}}$
Quindi si ha:
$(\sqrt{3}+i)^2 (1 + i)^3 = 8 sqrt{2} e^{i (\pi/3 + frac{3\pi}{4})} = 8 sqrt{2} e^{i frac{13\pi}{12}} = 8 sqrt{2} [cos(frac{13\pi}{12}) + i sin(frac{13\pi}{12})] = $
$ = 8 sqrt{2} [cos(-frac{11\pi}{12}) + i sin(-frac{11\pi}{12})] $
Occhio che in ciò che hai scritto vi sono parecchi errori, oltre a quello che ti ha già segnalato orsoulx...
"galles90":
il risultato del seguente prodotto è $[8sqrt{2},−11/12]$
No: $[8sqrt{2},−frac{11\pi}{12}]$, ove si intende che $\rho = 8sqrt{2}$ e $\theta = −frac{11\pi}{12}$.
"galles90":
$(sqrt{3}+i)^2 (1+i)^3=8 sqrt{2}(cos(frac{11\pi}{2}) + i sin(frac{11\pi}{11}))$
Qui gli angoli sono tutti errati.
Per evitare il più possibile questi errori, passerei prima per la più semplice forma esponenziale, per poi giungere alla fine alla forma trigonometrica.
$\sqrt{3}+i = 2e^{i \pi/6} \implies (\sqrt{3}+i)^2 = 4 e^{i \pi/3} $
$1 + i = sqrt{2}e^{i \pi/4} \implies (1 + i)^3 = 2 sqrt{2}e^{i frac{3\pi}{4}}$
Quindi si ha:
$(\sqrt{3}+i)^2 (1 + i)^3 = 8 sqrt{2} e^{i (\pi/3 + frac{3\pi}{4})} = 8 sqrt{2} e^{i frac{13\pi}{12}} = 8 sqrt{2} [cos(frac{13\pi}{12}) + i sin(frac{13\pi}{12})] = $
$ = 8 sqrt{2} [cos(-frac{11\pi}{12}) + i sin(-frac{11\pi}{12})] $
Grazie 
Grazie per l'errore (svista) che mi ha fatto notare pilloeffe
Grazie per l'errore (svista) che mi ha fatto notare pilloeffe
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