Prodotto di due limiti di successiooni

[fed_27]

Salve a tutti che ho un incertezza negli appunti presi ieri, due successioni convergenti an bnso che bn è limitata qujnid esiste una costante B tale che bn in valore assoluto è minore di B

per n maggiore di v con v =massimo tra$(v_1,v_2)$
$|(a_n)( b_n )-ab|$minore di ...........
a questo punto la professoressa ha detto di maggiorare la disequazione (non so che significa maggiorare)
e abbiamo trovato che $|(a_n)( b_n )-ab|$ deve essere minore di $|B|a_n - a |+ a(b_n - b)$
visto che sto riscrivendo gli appunti e i llbro da il passaggio già finito vorrei capire meglio come si arriva a tali conclusioni grazie

[darinter]

ma qual è l'ipotesi e qual è la tesi?

[fed_27]

"darinter":ma qual è l'ipotesi e qual è la tesi?

che $lima_n*b_n=ab=lim a_n * lim b_n $ tesi
ipotesi $ a_n$ e $b _n$ sono convergenti

[gugo82]

"fed27":[quote="darinter"]ma qual è l'ipotesi e qual è la tesi?

che $lima_n*b_n=ab=lim a_n * lim b_n $ tesi
ipotesi $ a_n$ e $b _n$ sono convergenti[/quote]
Classica dimostrazione $\epsilon -\nu$.
Supponiamo $a!=0$. Se $(b_n)$ è convergente, essa è limitata ed esiste un $B>0$ tale che $AAn\in \NN , \quad |b_n|<=B$; hai:

1) $AAn\in \NN ,\quad |a_nb_n-ab|=|a_nb_n-ab_n+ab_n-ab|=|(a_n-a)b_n+a(b_n-b)|<=|a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|<=B|a_n-a|+|a||b_n-b|$;

scelto $\epsilon >0$ trovi certamente un $\nu \in \NN$ in modo che per $n>\nu$ risulti:

$|a_n-a|<(\epsilon )/(2B) \quad$ e $\quad |b_n-b|<(\epsilon )/(2|a|)$;

sostituendo le precedenti nella 1) troviamo:

$AAn>\nu ,\quad |a_nb_n-ab|< B(\epsilon )/(2B)+|a|(\epsilon )/(2|a|)=\epsilon$

quindi $a_nb_n \to ab$.
Se $a=0$ e $b!=0$ si ragiona sommando e sottraendo $ba_n$ (al posto di $ab_n$) ed utilizzando un maggiorante positivo $A$ di $(a_n)$ in 1).
Infine, se $a=0=b$, al posto della 1) si utilizza la:

2) $AAn\in \NN,\quad |a_nb_n|=|a_n||b_n|$

e si maggiorano i fattori al secondo membro con $\sqrt{\epsilon}$.