Prodotto di Cauchy
Ciao, amici!
Leggo sul mio testo di analisi che il prodotto di due serie di potenze di termine generale rispettivamente $a_n(x-x_0)^n$ e $b_n(x-x_0)^n$ è definito come
\[\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\Bigg)\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n\Bigg)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigg(\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\Bigg)(x-x_0)^n\]
osservo* che sono stati riuniti i coefficienti di ogni n-esimo addendo $(x-x_0)^n$.
Più avanti il testo dimostra che, analogamente definito, nel caso di generiche serie di termine generale $a_n$ e $b_n$, tale prodotto come
\[\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\]
esso converge se \(\sum_{n}^{\infty} |a_n|\) e \( \sum_{n}^{\infty} b_n\) convergono (di una delle due serie arbitrariamente scelte si prende il modulo del termine generale: converge assolutamente) e vale
\[\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\Bigg)\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\Bigg)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} \]
Questo mi fa pensare che quest'ultima uguaglianza, cioè che il prodotto delle somme delle serie sia proprio il prodotto di Cauchy delle serie, non valga in generale: giusto?
Quello che non mi è chiaro è se valga in generale nel caso del prodotto di due serie di potenze, come sopra, dato che il mio libro non pone la condizione che convergano e che una converga assolutamente...
Ho cercato fino a notte su Internet, ma non ho trovato una risposta a questa questione...
Ringrazio di cuore chiunque vorrà intervenire per aiutarmi a chiarire un po' le idee...
*Ho immaginato i termini $a_n(x-x_0)^n$ e $b_n(x-x_0)^n$ disposti gli uni "orizzontalmente" e gli altri "verticalmente" a formare una tabellina nelle cui righe e colonne si trovano i prodotti: in diagonale si vengono a trovare tutti gli n + 1 termini $(x-x_0)^n$ di esponente n-esimo. Direi che facendo "tendere all'infinito la tabellina" ho la serie \( \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i})(x-x_0)^n \) (è rigoroso ragionare così? Se fosse corretto direi che si ha quindi la validità generale della formula di qui sopra per il prodotto di due serie di potenze)...
Leggo sul mio testo di analisi che il prodotto di due serie di potenze di termine generale rispettivamente $a_n(x-x_0)^n$ e $b_n(x-x_0)^n$ è definito come
\[\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\Bigg)\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n\Bigg)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigg(\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\Bigg)(x-x_0)^n\]
osservo* che sono stati riuniti i coefficienti di ogni n-esimo addendo $(x-x_0)^n$.
Più avanti il testo dimostra che, analogamente definito, nel caso di generiche serie di termine generale $a_n$ e $b_n$, tale prodotto come
\[\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\]
esso converge se \(\sum_{n}^{\infty} |a_n|\) e \( \sum_{n}^{\infty} b_n\) convergono (di una delle due serie arbitrariamente scelte si prende il modulo del termine generale: converge assolutamente) e vale
\[\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\Bigg)\Bigg(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\Bigg)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} \]
Questo mi fa pensare che quest'ultima uguaglianza, cioè che il prodotto delle somme delle serie sia proprio il prodotto di Cauchy delle serie, non valga in generale: giusto?
Quello che non mi è chiaro è se valga in generale nel caso del prodotto di due serie di potenze, come sopra, dato che il mio libro non pone la condizione che convergano e che una converga assolutamente...
Ho cercato fino a notte su Internet, ma non ho trovato una risposta a questa questione...
Ringrazio di cuore chiunque vorrà intervenire per aiutarmi a chiarire un po' le idee...
*Ho immaginato i termini $a_n(x-x_0)^n$ e $b_n(x-x_0)^n$ disposti gli uni "orizzontalmente" e gli altri "verticalmente" a formare una tabellina nelle cui righe e colonne si trovano i prodotti: in diagonale si vengono a trovare tutti gli n + 1 termini $(x-x_0)^n$ di esponente n-esimo. Direi che facendo "tendere all'infinito la tabellina" ho la serie \( \sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i})(x-x_0)^n \) (è rigoroso ragionare così? Se fosse corretto direi che si ha quindi la validità generale della formula di qui sopra per il prodotto di due serie di potenze)...
Risposte
Dunque, premetto che non mi è molto chiara la domanda: vuoi sapere quando è valida la formula del prodotto alla Cauchy di due serie numeriche?
In questo caso la risposta è facile, perché è "sempre", per il semplice fatto che quella formula è la definizione di prodotto alla Cauchy di due serie. È un po' come se ti chiedessi quando vale la formula \(\text{somma}(a,b) = a+b\)
.
Detto questo, c'è da affrontare il più serio problema della convergenza della serie prodotto, e qui viene in aiuto, secondo Pagani-Salsa, il teorema di Mertens per cui, come dicevi tu, se le serie numeriche \(\sum a_n = A\) e \(\sum b_n = B\) convergono, almeno una delle quali assolutamente, allora la serie prodotto secondo Cauchy delle due serie converge semplicemente, con somma \(C = AB\).
Se entrambe le serie fattori convergono assolutamente, la serie prodotto converge assolutamente.
È questo che volevi sapere?
In questo caso la risposta è facile, perché è "sempre", per il semplice fatto che quella formula è la definizione di prodotto alla Cauchy di due serie. È un po' come se ti chiedessi quando vale la formula \(\text{somma}(a,b) = a+b\)
.Detto questo, c'è da affrontare il più serio problema della convergenza della serie prodotto, e qui viene in aiuto, secondo Pagani-Salsa, il teorema di Mertens per cui, come dicevi tu, se le serie numeriche \(\sum a_n = A\) e \(\sum b_n = B\) convergono, almeno una delle quali assolutamente, allora la serie prodotto secondo Cauchy delle due serie converge semplicemente, con somma \(C = AB\).
Se entrambe le serie fattori convergono assolutamente, la serie prodotto converge assolutamente.
È questo che volevi sapere?
Grazie, Raptorista!!! 
Quello che non mi è chiaro è se il prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\) è sempre uguale al prodotto delle somme delle due serie, cioè a \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n)\). Il mio testo dimostra solamente che lo è nel caso che le due serie convergano ed almeno una delle due converga assolutamente, nel qual caso tale prodotto converge.
Nel caso specifico del prodotto \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n)\) delle somme due serie di potenze direi che sia uguale al prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i (x-x_0)^i b_{n-i} (x-x_0)^{n-i}\) per via del "ragionamento della tabellina" che ho scritto in nota... o no?
E il prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\) è uguale al prodotto \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n)\) delle somme delle serie anche nel caso di due serie in generale?
$\sum_{i}^{\infty} "grazie"_i$!!!
Quello che non mi è chiaro è se il prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\) è sempre uguale al prodotto delle somme delle due serie, cioè a \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n)\). Il mio testo dimostra solamente che lo è nel caso che le due serie convergano ed almeno una delle due converga assolutamente, nel qual caso tale prodotto converge.
Nel caso specifico del prodotto \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n)\) delle somme due serie di potenze direi che sia uguale al prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i (x-x_0)^i b_{n-i} (x-x_0)^{n-i}\) per via del "ragionamento della tabellina" che ho scritto in nota... o no?
E il prodotto di Cauchy \(\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i}\) è uguale al prodotto \((\sum_{n=0}^{\infty} a_n) (\sum_{n=0}^{\infty} b_n)\) delle somme delle serie anche nel caso di due serie in generale?
$\sum_{i}^{\infty} "grazie"_i$!!!
Ti ho già dato la risposta, cerca di seguirmi!
La somma della serie prodotto è SEMPRE uguale al prodotto delle somme delle serie fattori, per definizione.
Tuttavia, se uno dei due fattori è \(+\infty\), ha veramente poca utilità considerare la serie prodotto, quindi non ce se ne occupa.
Affinché si abbia la convergenza della serie prodotto, è necessario che almeno una delle due serie fattore converga assolutamente. Fine della storia.
Per quanto riguarda le serie di potenze, non mi pronuncio perché ancora non padroneggio l'argomento.
La somma della serie prodotto è SEMPRE uguale al prodotto delle somme delle serie fattori, per definizione.
Tuttavia, se uno dei due fattori è \(+\infty\), ha veramente poca utilità considerare la serie prodotto, quindi non ce se ne occupa.
Affinché si abbia la convergenza della serie prodotto, è necessario che almeno una delle due serie fattore converga assolutamente. Fine della storia.
Per quanto riguarda le serie di potenze, non mi pronuncio perché ancora non padroneggio l'argomento.
$+oo$ grazie: adesso mi è chiara la questione: oltretutto se la diagonalizzazione che ho usato per il prodotto di serie di potenze funziona, funziona in particolare ponendo $x-x_0=1$ e quindi...
Grazie ancora!!!
Grazie ancora!!!
Apro e chiudo parentesi.
Che il prodotto si possa fare (almeno formalmente) in quella maniera è assodato... Però non vi siete soffermati a pensare per quali valori di \(x\) quel prodotto abbia senso.
Supponiamo che \(x_0=0\) (w.l.o.g.) e diciamo \(\sum a_n\ x^n,\ \sum b_n\ x^n\) due serie di potenze, una con r.d.c. rispettivamente \(\rho (a)\) e \(\rho (b)\).
Chiaramente se uno tra \(\rho (a),\ \rho(b)\) è nullo, allora il prodotto di Cauchy ha senso considerarlo solo in \(0\).
Se \(\rho (a),\ \rho (b)>0\), allora le due serie numeriche:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n \quad \text{e}\quad \sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n
\]
convergono entrambe assolutamente per ogni \(x\in ]-\rho, \rho[\), ove \(\rho :=\min \{\rho(a),\ \rho(b)\}\); quindi, per ogni fissato \(x\in ]-\rho ,\rho[\), ha senso prenderne il prodotto secondo Cauchy, il quale è convergente assolutamente (per il teorema sulle serie numeriche ricordato sopra).
Calcolando tale prodotto con la regola già illustrata si trova:
\[
\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ x^k\ b_{n-k}\ x^{n-k}\right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\ x^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\right)\ x^n
\]
cosicché, lasciando la \(x\) libera di variare, si ritrova all'ultimo membro la serie di potenze \(\sum \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\right)\ x^n\), i cui coefficienti sono dati dagli addendi del prodotto secondo Cauchy delle serie formate coi coefficienti delle due serie di potenze assegnate.
Inoltre, dal ragionamento fatto poco più sopra, discende che il r.d.c. \(\rho(a*b)\) della serie prodotto è \(\geq \min \{ \rho (a),\rho (b)\}\).
Per quanto riguarda il problema "grosso" sollevato da DavideGenova, esso in realtà non è un problema.
Infatti, nota che i coefficienti della serie di potenze prodotto, i.e.:
\[
\sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}
\]
sono somme finite di numeri reali finiti, quindi essi sono tutti finiti.
E, d'altra parte, il prodotto delle serie numeriche \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\), inteso come valore della somma della serie prodotto, i.e.:
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k} =\lim_N \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\; ,
\]
non rientra in alcuno dei conticini fatti sopra: perciò poco ci importa se tale prodotto esiste, o se ha un valore finito oppure no.
Quindi la serie di potenze prodotto di \(\sum a_n\ x^n\) e \(\sum b_n\ x^n\) secondo Cauchy, è sempre e comunque una serie di potenze ben definita.
Che il prodotto si possa fare (almeno formalmente) in quella maniera è assodato... Però non vi siete soffermati a pensare per quali valori di \(x\) quel prodotto abbia senso.
Supponiamo che \(x_0=0\) (w.l.o.g.) e diciamo \(\sum a_n\ x^n,\ \sum b_n\ x^n\) due serie di potenze, una con r.d.c. rispettivamente \(\rho (a)\) e \(\rho (b)\).
Chiaramente se uno tra \(\rho (a),\ \rho(b)\) è nullo, allora il prodotto di Cauchy ha senso considerarlo solo in \(0\).
Se \(\rho (a),\ \rho (b)>0\), allora le due serie numeriche:
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n \quad \text{e}\quad \sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n
\]
convergono entrambe assolutamente per ogni \(x\in ]-\rho, \rho[\), ove \(\rho :=\min \{\rho(a),\ \rho(b)\}\); quindi, per ogni fissato \(x\in ]-\rho ,\rho[\), ha senso prenderne il prodotto secondo Cauchy, il quale è convergente assolutamente (per il teorema sulle serie numeriche ricordato sopra).
Calcolando tale prodotto con la regola già illustrata si trova:
\[
\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ x^k\ b_{n-k}\ x^{n-k}\right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\ x^n\right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\right)\ x^n
\]
cosicché, lasciando la \(x\) libera di variare, si ritrova all'ultimo membro la serie di potenze \(\sum \left( \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\right)\ x^n\), i cui coefficienti sono dati dagli addendi del prodotto secondo Cauchy delle serie formate coi coefficienti delle due serie di potenze assegnate.
Inoltre, dal ragionamento fatto poco più sopra, discende che il r.d.c. \(\rho(a*b)\) della serie prodotto è \(\geq \min \{ \rho (a),\rho (b)\}\).
Per quanto riguarda il problema "grosso" sollevato da DavideGenova, esso in realtà non è un problema.
Infatti, nota che i coefficienti della serie di potenze prodotto, i.e.:
\[
\sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}
\]
sono somme finite di numeri reali finiti, quindi essi sono tutti finiti.
E, d'altra parte, il prodotto delle serie numeriche \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\), inteso come valore della somma della serie prodotto, i.e.:
\[
\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k} =\lim_N \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k\ b_{n-k}\; ,
\]
non rientra in alcuno dei conticini fatti sopra: perciò poco ci importa se tale prodotto esiste, o se ha un valore finito oppure no.
Quindi la serie di potenze prodotto di \(\sum a_n\ x^n\) e \(\sum b_n\ x^n\) secondo Cauchy, è sempre e comunque una serie di potenze ben definita.
@Davide: hai visto che ho fatto bene a non pronunciarmi sulle serie di potenze?
@Gugo: as always, you rock!!
@Gugo: as always, you rock!!
Grazie anche a te, Gugo!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo