Prodotto di boreliani è boreliano
Sia $\mathcal{B}(RR^n)$ la $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $RR^n$.
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$.
Qualcuno sa come dimostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$ ??
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$.
Qualcuno sa come dimostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$ ??
Risposte
Se ho capito bene la domanda, ad esempio la risposta la puoi trovare nel dettaglio qui
http://www.math.unipd.it/~vargiolu/CalP ... zioni1.pdf
(es. 3)
In pratica direi che segue dal fatto che si tratta di una sigma-algebra generata dai prodotti di intervalli aperti (grazie al fatto che i prodotti di intervalli aperti costituiscono una base della topologia euclidea).
Se ho capito male, sorry.
Ciao.
http://www.math.unipd.it/~vargiolu/CalP ... zioni1.pdf
(es. 3)
In pratica direi che segue dal fatto che si tratta di una sigma-algebra generata dai prodotti di intervalli aperti (grazie al fatto che i prodotti di intervalli aperti costituiscono una base della topologia euclidea).
Se ho capito male, sorry.
Ciao.
"NightKnight":
Sia $\mathcal{B}(RR^n)$ la $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $RR^n$.
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$.
Qualcuno sa come dimostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$ ??
oppure puoi usare il fatto che $\mathcal{F)=\sigma{B_1x...xB_n|B_j\in\mathcal{B}(RR)}$ è la sigma algebra definita come spazio prodotto, ovvero è la più piccola sigma-algebra che rende le proiezioni $\pi_j:RR^n->RR$ misurabili. (facile verifica)
essendo che esse sono misurabili anche in $\mathcal{B}(RR^n)$ hai l'inclusione. Penso che possa andare così...
"fu^2":
[quote="NightKnight"]Sia $\mathcal{B}(RR^n)$ la $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $RR^n$.
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$.
Qualcuno sa come dimostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$ ??
oppure puoi usare il fatto che $\mathcal{F)=\sigma{B_1x...xB_n|B_j\in\mathcal{B}(RR)}$ è la sigma algebra definita come spazio prodotto, ovvero è la più piccola sigma-algebra che rende le proiezioni $\pi_j:RR^n->RR$ misurabili. (facile verifica)
essendo che esse sono misurabili anche in $\mathcal{B}(RR^n)$ hai l'inclusione. Penso che possa andare così...[/quote]
ehm, in effetti cercavo qualcosa da fare con le mani e non volevo scomodare la sigma-algebra prodotto.. comunque ho risolto. grazie a tutti!
Ci piace quando gli utenti mettono in circolo le loro soluzioni; anche questo serve a far circolare idee nuove, che è una delle finalità del forum.
Quindi, perchè non riporti la tua soluzione NightKnight?
Quindi, perchè non riporti la tua soluzione NightKnight?
Sia $\mathcal{B}(RR^n)$ la $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $RR^n$.
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$
Sia $\mathcal{G}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $A_1 \times ... \times A_n$ dove $A_1,...,A_n$ sono aperti di $RR$.
Vogliamo mostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$.
Ovviamente $mathcal{G} \subseteq mathcal{B}(RR^n)$. Quindi basta mostrare che $mathcal{F} \subseteq mathcal{G}$
Allora poniamo per semplicità $n=2$ (altrimenti il ragionamento è lo stesso):
$\forall A_2 \subseteq RR \ $ aperto, ${ E \subseteq RR | E \times A_2 \in mathcal{G} }$ è una $\sigma$-algebra contenente gli aperti di $RR$, perciò
$\forall A_2 \subseteq RR \ $ aperto, ${ E \subseteq RR | E \times A_2 \in mathcal{G} } \supseteq \mathcal{B}(RR)$.
Quindi $\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR), \forall A_2 \subseteq RR \ \text{aperto}, \ B_1 \times A_2 \in \mathcal{G}$.
Allora $\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR) \ {F \subseteq RR | B_1 \times F \in mathcal{G} }$ è una $\sigma$-algebra contenente gli aperti di $RR$, e quindi
$\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR) \ {F \subseteq RR | B_1 \times F \in mathcal{G} } \supseteq \mathcal{B}(RR)$.
Quindi $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}(RR), \ B_1 \times B_2 \in mathcal{G}$.
Sia $\mathcal{F}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $B_1 \times ... \times B_n$ dove $B_1,...,B_n \in \mathcal{B}(RR)$
Sia $\mathcal{G}$ la $\sigma$-algebra generata dagli insiemi del tipo $A_1 \times ... \times A_n$ dove $A_1,...,A_n$ sono aperti di $RR$.
Vogliamo mostrare che $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}(RR^n)$.
Ovviamente $mathcal{G} \subseteq mathcal{B}(RR^n)$. Quindi basta mostrare che $mathcal{F} \subseteq mathcal{G}$
Allora poniamo per semplicità $n=2$ (altrimenti il ragionamento è lo stesso):
$\forall A_2 \subseteq RR \ $ aperto, ${ E \subseteq RR | E \times A_2 \in mathcal{G} }$ è una $\sigma$-algebra contenente gli aperti di $RR$, perciò
$\forall A_2 \subseteq RR \ $ aperto, ${ E \subseteq RR | E \times A_2 \in mathcal{G} } \supseteq \mathcal{B}(RR)$.
Quindi $\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR), \forall A_2 \subseteq RR \ \text{aperto}, \ B_1 \times A_2 \in \mathcal{G}$.
Allora $\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR) \ {F \subseteq RR | B_1 \times F \in mathcal{G} }$ è una $\sigma$-algebra contenente gli aperti di $RR$, e quindi
$\forall B_1 \in \mathcal{B}(RR) \ {F \subseteq RR | B_1 \times F \in mathcal{G} } \supseteq \mathcal{B}(RR)$.
Quindi $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B}(RR), \ B_1 \times B_2 \in mathcal{G}$.
"fu^2":
essendo che
Essendo non vuole il che.
[mod="Gugo82"]@NightKnight: (Pur ammirando Phelps...) L'avatar è troppo grande; a norma di regolamento (cfr. 2.3) deve essere di dimensioni $<= 169 \times 169$ pixel.
Cerca di ridurlo che così com'è incasina la visualizzazione delle pagine.
Grazie.[/mod]
Cerca di ridurlo che così com'è incasina la visualizzazione delle pagine.
Grazie.[/mod]
"WiZaRd":
[quote="fu^2"]
essendo che
Essendo non vuole il che.[/quote]
non si finisce mai di imparare
"fu^2":
[quote="WiZaRd"][quote="fu^2"]
essendo che
Essendo non vuole il che.[/quote]
non si finisce mai di imparare
[/quote]Mi sono permesso di fare questo appunto perché i post che scrivi sono interessanti e spesso iniziano con "Essendo". L'aggiunta del "che" cozza con i post.
"WiZaRd":
[quote="fu^2"][quote="WiZaRd"][quote="fu^2"]
essendo che
Essendo non vuole il che.[/quote]
non si finisce mai di imparare
[/quote]Mi sono permesso di fare questo appunto perché i post che scrivi sono interessanti e spesso iniziano con "Essendo". L'aggiunta del "che" cozza con i post.
[/quote]Più che cozza, sembra una vongola...
[size=75]Vabbè, è tristerrima come battuta... Mi squalifico per un mese![/size]
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