Procedimento risolutorio equazione differenziale
Ciao, amici!
Durante i miei studi (come chi mi conosce sa, da autodidatta...) sulle equazioni differenziali mi sono imbattuto nell'equazione $y'=(-4x+y)/(x-y)$.
Come ho verificato sul sito (utilissimo, che consiglio a tutti) Wolfram Alpha, la soluzione è piuttosto laboriosa da calcolare: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... F%28x-y%29
Però, come suggerisce la "soluzione" che dà il mio testo, ci si può arrivare attraverso il fatto che $(y(x)+2x)^3(y(x)-2x)=C$, naturlamente per y(x)≠x, dove immagino che C sia una costante proveniente da un processo di integrazione, ma, francamente, non riesco a trovare il "percoso" per cui si arriva a questa espressione... Ho provato con varie sostituzioni, ma non sono arrivato a capo di nulla...
C'è qualcuno che ha voglia di cimentarsi con questo "problemino"?
Ciao a tutti e grazie di tutto cuore a tutti quanti vorranno cimentarsi e aiutarmi!!!
Davide
Durante i miei studi (come chi mi conosce sa, da autodidatta...) sulle equazioni differenziali mi sono imbattuto nell'equazione $y'=(-4x+y)/(x-y)$.
Come ho verificato sul sito (utilissimo, che consiglio a tutti) Wolfram Alpha, la soluzione è piuttosto laboriosa da calcolare: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... F%28x-y%29
Però, come suggerisce la "soluzione" che dà il mio testo, ci si può arrivare attraverso il fatto che $(y(x)+2x)^3(y(x)-2x)=C$, naturlamente per y(x)≠x, dove immagino che C sia una costante proveniente da un processo di integrazione, ma, francamente, non riesco a trovare il "percoso" per cui si arriva a questa espressione... Ho provato con varie sostituzioni, ma non sono arrivato a capo di nulla...
C'è qualcuno che ha voglia di cimentarsi con questo "problemino"?
Ciao a tutti e grazie di tutto cuore a tutti quanti vorranno cimentarsi e aiutarmi!!!
Davide
Risposte
Classica equazione a secondo membro omogeneo, ossia del tipo [tex]$y^\prime =f(x,y)$[/tex] con [tex]$f(x,y)$[/tex] omogenea (click).
Tale equazione si può ricordurre a variabili separabili con la sostituzione [tex]$y=t\ x$[/tex], ossia [tex]$t=\tfrac{y}{x}$[/tex] in cui [tex]$t$[/tex] è la nuova incognita. Infatti risulta:
[tex]$y^\prime =t^\prime\ x+ t$[/tex],
nonché:
[tex]$f(x,y)=g(\tfrac{y}{x})=g(t)$[/tex]
(in quanto una funzione omogenea dipende unicamente dal rapporto delle variabili), cosicché l'equazione diventa:
[tex]$t^\prime\ x+t=g(t)$[/tex],
ossia:
[tex]$t^\prime =\frac{g(t)-t}{x}$[/tex]
che è a variabili separabili.
Per maggiori info, anche di teoria, vedi qui.
Tale equazione si può ricordurre a variabili separabili con la sostituzione [tex]$y=t\ x$[/tex], ossia [tex]$t=\tfrac{y}{x}$[/tex] in cui [tex]$t$[/tex] è la nuova incognita. Infatti risulta:
[tex]$y^\prime =t^\prime\ x+ t$[/tex],
nonché:
[tex]$f(x,y)=g(\tfrac{y}{x})=g(t)$[/tex]
(in quanto una funzione omogenea dipende unicamente dal rapporto delle variabili), cosicché l'equazione diventa:
[tex]$t^\prime\ x+t=g(t)$[/tex],
ossia:
[tex]$t^\prime =\frac{g(t)-t}{x}$[/tex]
che è a variabili separabili.
Per maggiori info, anche di teoria, vedi qui.
Grazie infinitamente, Gugo! Come al solito le tue osservazioni sono utilissime e geniali!
Sostituendo nella maniera da te suggerita abbiamo che
$g(t)=y'=(-4x+xt)/(x-xt)=(t-4)/(1-t)$ e quindi
$xt'=(t-4)/(1-t)-t=(t^2-4)/(1-t)$ che divido per $x^2t'$ e integro:
$\int (t')/((t^2-4)/(1-t)) dx= \int (1-t)/(t^2-4) dt = -1/4(ln|t-2|+3ln|t+2|)+C = int\ 1/x dx= ln|x|+D$ e perciò si trova che
$ln(|(y/x)-2|·|(y/x)+2|^3)=-4ln|x|-4C$ da cui si ricava l'espressione data dal mio libro, da cui si ottiene la soluzione...
Grazie di cuore ancora!!!
Ciao, Davide
Sostituendo nella maniera da te suggerita abbiamo che
$g(t)=y'=(-4x+xt)/(x-xt)=(t-4)/(1-t)$ e quindi
$xt'=(t-4)/(1-t)-t=(t^2-4)/(1-t)$ che divido per $x^2t'$ e integro:
$\int (t')/((t^2-4)/(1-t)) dx= \int (1-t)/(t^2-4) dt = -1/4(ln|t-2|+3ln|t+2|)+C = int\ 1/x dx= ln|x|+D$ e perciò si trova che
$ln(|(y/x)-2|·|(y/x)+2|^3)=-4ln|x|-4C$ da cui si ricava l'espressione data dal mio libro, da cui si ottiene la soluzione...
Grazie di cuore ancora!!!
Ciao, Davide
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