Procedimento diagonale di cantor
Ciao a tutti,
sto studiando il procedimento diagonale di Cantor, applicato ad una successione di funzioni ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ definite su uno spazio normato separabile $ X $ e mi sono accorta di non aver ben chiare alcune cose:
1. perché Il procedimento diagonale può essere applicato solo ed esclusivamente su una successione di funzioni limitata?
2. che differenza c'è tra una successione di funzione limitata e una successione di funzione uniformemente limitata?
Dalle definizioni so che ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ è limitata se $∃M>=0 t.c. ||f_n || <= M \forall n in \mathbb{N} $ ; mentre ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ è uniformemente limitata se $∃M>=0 t.c. ||f_n || <= M \forall n in \mathbb{N} \forall x in X $ , quindi in entrambi i casi ho sempre una costante M indipendente da n che controlla la norma e la differenza sta solo nel fatto che la limitatezza vale $ \forall n in \mathbb{N} $ , mentre la uniforme limitatezza vale $\forall n in \mathbb{N} \forall x in X $, giusto?
Scusatemi, ma sono un pò confusa e vorrei capire meglio la differenza.
Grazie mille
sto studiando il procedimento diagonale di Cantor, applicato ad una successione di funzioni ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ definite su uno spazio normato separabile $ X $ e mi sono accorta di non aver ben chiare alcune cose:
1. perché Il procedimento diagonale può essere applicato solo ed esclusivamente su una successione di funzioni limitata?
2. che differenza c'è tra una successione di funzione limitata e una successione di funzione uniformemente limitata?
Dalle definizioni so che ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ è limitata se $∃M>=0 t.c. ||f_n || <= M \forall n in \mathbb{N} $ ; mentre ${f_n}_{n in \mathbb{N} }$ è uniformemente limitata se $∃M>=0 t.c. ||f_n || <= M \forall n in \mathbb{N} \forall x in X $ , quindi in entrambi i casi ho sempre una costante M indipendente da n che controlla la norma e la differenza sta solo nel fatto che la limitatezza vale $ \forall n in \mathbb{N} $ , mentre la uniforme limitatezza vale $\forall n in \mathbb{N} \forall x in X $, giusto?
Scusatemi, ma sono un pò confusa e vorrei capire meglio la differenza.
Grazie mille
Risposte
Meglio specificare cosa stai studiando. Immagino sia un teorema di compattezza, forse Ascoli-Arzelà o Banach-Alaoglu?
scusami, ma non mi era arrivata la notifica della risposta. sto studiando il teorema di Banach-Alaoglu : " la palla unitaria chiusa è debolmente compatta" e per dimostrarlo uso il procedimento diagonale su una successione limitata.
Successivamente ho ritrovato l'uso di questo procedimento per la dimostrazione di un teorema sugli operatori lineari compatti su spazi di Hilbert: "Un operatore compatto trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e in questo caso, però, per dimostrare il teorema parto da una successione uniformemente limitata.
è a questo punto che mi è venuto il dubbio su quando applicare il procedimento diagonale e sulla differenza tra limitatezza e uniforme limitatezza.
Grazie a chi mi aiuterà a chiarire questi dubbi
Successivamente ho ritrovato l'uso di questo procedimento per la dimostrazione di un teorema sugli operatori lineari compatti su spazi di Hilbert: "Un operatore compatto trasforma successioni debolmente convergenti in successioni fortemente convergenti" e in questo caso, però, per dimostrare il teorema parto da una successione uniformemente limitata.
è a questo punto che mi è venuto il dubbio su quando applicare il procedimento diagonale e sulla differenza tra limitatezza e uniforme limitatezza.
Grazie a chi mi aiuterà a chiarire questi dubbi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo