Procedimento di calcolo limite non chiaro
Non capisco un passaggio del calcolo di questo limite $\lim \sqrt{n}=1$. (radice ENNESIMA, non riesco a farla 
)
Per prima cosa mi trovo questa diseguaglianza
$1<\sqrt n<1+a_n$
non leggendo da nessuna parte cos'è $a_n$ ho interpretato come "Sia a_n una successione tale che vale quella disuguaglianza", e fin qui va bene. Elevando alla n la seconda disuguaglianza diventa
$n\leq (1+a_n)^n=\cdots\geq ((n),(2))a_n^2=\frac{n(n-1)}{2} a_n^2$.
Contrariamente a ogni mia previsione, dopo trovo scritto
$n>\frac{n(n-1)}{2} a_n^2$
Disuguaglianza che non capisco...d'altronde siamo partiti da $\sqrt n<1+a_n\Rightarrow n>(1+a_n)^n$!
Questa disuguaglianza è tuttavia fondamentale, perchè da essa viene desunto che $a_n$ deve tendere a 0 per il teorema del confronto.
Quale nodo sbroglia la matassa?
)Per prima cosa mi trovo questa diseguaglianza
$1<\sqrt n<1+a_n$
non leggendo da nessuna parte cos'è $a_n$ ho interpretato come "Sia a_n una successione tale che vale quella disuguaglianza", e fin qui va bene. Elevando alla n la seconda disuguaglianza diventa
$n\leq (1+a_n)^n=\cdots\geq ((n),(2))a_n^2=\frac{n(n-1)}{2} a_n^2$.
Contrariamente a ogni mia previsione, dopo trovo scritto
$n>\frac{n(n-1)}{2} a_n^2$
Disuguaglianza che non capisco...d'altronde siamo partiti da $\sqrt n<1+a_n\Rightarrow n>(1+a_n)^n$!
Questa disuguaglianza è tuttavia fondamentale, perchè da essa viene desunto che $a_n$ deve tendere a 0 per il teorema del confronto.
Quale nodo sbroglia la matassa?
Risposte
C'è un errore all'inizio.
Tu definisci \(a_n := \sqrt[n]{n}-1\), in modo che \(\sqrt[n]{n}= 1+a_n\) (e non \(\leq\)).
A questo punto hai che
\[ n = (1+a_n)^n \geq \left(\matrix{{n}\\{2}}\right) a_n^2\]
etc etc.
Tu definisci \(a_n := \sqrt[n]{n}-1\), in modo che \(\sqrt[n]{n}= 1+a_n\) (e non \(\leq\)).
A questo punto hai che
\[ n = (1+a_n)^n \geq \left(\matrix{{n}\\{2}}\right) a_n^2\]
etc etc.
ILLUMINANTE COME SEMPRE....estreme grazie 
Il calcolo di questo limite è più agevole se porti la successione in forma esponenziale!
$\lim_{n \to \infty}e^(1/nlogn)$ $\=1$ , $\1/n$ va più velocemente a zero di quanto il logaritmo va all'infinito, quindi $\e^0 = 1$
"ste3191":
$\lim_{n \to \infty}e^(1/nlogn)$ $\=1$ , $\1/n$ va più velocemente a zero di quanto il logaritmo va all'infinito, quindi $\e^0 = 1$
Il problema è dimostrare ciò che si afferma.
Nel tuo caso dovresti dimostrare che \(\lim_n \frac{\log n}{n} = 0\).
Ma in caso voglia calcolare $\frac{\log^\alpha n}{n^\beta}$, con $\alpha>\beta$, come posso fare? Non riesco a togliere l'indeterminazione, infatti se uno vuole usare il limite $\frac{\log n}{n}$ e sviluppa il prodotto rimane sempre un termine che diverge...come fare?
Supponiamo che tu sappia già che \(\lim_n \frac{\log a_n}{a_n} = 0\) se \((a_n)\) è una successione a termini positivi divergente a \(+\infty\).
Puoi a questo punto dimostrare che \(\lim_n \frac{\log n}{n^{\gamma}} = 0\) per ogni \(\gamma > 0\); infatti
\[ \frac{\log n}{n^{\gamma}} = \frac{1}{\gamma}\cdot \frac{\log (n^{\gamma})}{n^{\gamma}} = 0\]
per il limite precedente (con \(a_n = n^{\gamma}\)).
A questo punto, per trattare il limite da te proposto (nel caso \(\alpha, \beta > 0\)) basta scrivere
\[ \frac{\log^{\alpha} n}{n^{\beta}} = \left( \frac{\log n}{n^{\gamma}}\right)^{\alpha}\]
con \(\gamma := \beta / \alpha\).
Puoi a questo punto dimostrare che \(\lim_n \frac{\log n}{n^{\gamma}} = 0\) per ogni \(\gamma > 0\); infatti
\[ \frac{\log n}{n^{\gamma}} = \frac{1}{\gamma}\cdot \frac{\log (n^{\gamma})}{n^{\gamma}} = 0\]
per il limite precedente (con \(a_n = n^{\gamma}\)).
A questo punto, per trattare il limite da te proposto (nel caso \(\alpha, \beta > 0\)) basta scrivere
\[ \frac{\log^{\alpha} n}{n^{\beta}} = \left( \frac{\log n}{n^{\gamma}}\right)^{\alpha}\]
con \(\gamma := \beta / \alpha\).
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