Procedimento corretto per il calcolo di un integrale

[Riccardo Desimini]

Posto il thread in questa sezione perché il problema, sebbene calato in un contesto fisico, riguarda sostanzialmente il metodo di calcolo di un integrale.

Voglio dimostrare che
\[ \int p\, \text{d}v = pv - \int v\, \text{d}p \]
L'approccio che voglio evitare (in quanto lo ritengo sbagliato) è la pseudo-integrazione per parti che sceglie come fattor finito \( p \) e come fattor differenziale \( \text{d}v \), portando subito al risultato.

Procedo nel modo seguente.

Considero la funzione \( p = p\ (T, v) \) e la scelgo come fattor finito; il fattor differenziale sia invece la funzione costante \( 1 \). Allora
\[ \int p\, \text{d}v = pv - \int v \frac{\partial p}{\partial v}\, \text{d}v \]
Ma da qui non so più come proseguire.

Chi mi aiuta a concludere il conto?

[Luca.Lussardi]

Si tratta solo di un cambio di variabile da fare nell'ultimo integrale che hai scritto di modo che ti venga fuori il $dp$.

[Riccardo Desimini]

È quello che avevo pensato.

La mia idea sarebbe (detta molto male) di porre \( p = p\, (T, v) \) e \( \text{d}p = \frac{\partial p}{\partial v}\, \text{d}v \)
Questa sostituzione nascerebbe dal fatto che
\[ \int h\, (g\, (T, v)) \frac{\partial g}{\partial v}\, \text{d}v = \int h(g)\, \text{d}g \]
Quindi
\[ \int v \frac{\partial p}{\partial v}\, \text{d}v = \int v\, \text{d}p \]
ove si è posto \( h\, (p\, (T, v)) = v \).

È corretto?