Procedimento con Hessiano nullo

[Cloudy1]

Ciao a tutti, ho la funzione:

f(x, y) = $x^4 - 6xy + 3y^2 + 3x^2$

Mi trovo come punto critico (0, 0), punto in cui l'hessiano è nullo. Allora procedo con uno studio locale:

Mi calcolo il $Delta$f = f(x, y) - f(0, 0) = $x^4 - 6xy + 3y^2 + 3x^2$

Sulla retta y = x avrò che:

$Delta$f = $x^4$ > 0

Sulla retta y = -x avrò che:

$Delta$f = $x^4 +12 x^2$ > 0

Allora il punto (0, 0) è di minimo relativo.
Ora il mio dubbio è: E' giusto ragionare in questo modo??? O mi sono inventato tutto???

[Giuly191]

E' un buon inizio ma non è rigoroso, perchè hai trovato l'incremento positivo in due direzioni, il che non ti garantisce che lo sia su tutte!
Però quell'incremento si può riscrivere in un modo molto più utile, cioè così $x^4+(sqrt(3)y-sqrt(3)x)^2$, e questo sì che è sempre maggiore di $0$.